Mostre que se A   =   U Σ V T for uma decomposição em valores singulares de A , então U diagonaliza A A T ortogonalmente

Passo 1

Vamos lá! Temos que lembrar algumas coisinhas antes pra facilitar nossa vida.

V é uma matriz formada da decomposição de valores singulares de A , e é ortogonal, assim temos que:

V ⋅ V T = I

Para não esquecermos I é a matriz identidade.

E temos que lembrar que nossa matriz Σ é diagonal, assim Σ = Σ T .

Passo 2

Agora vamos usar a decomposição de valores singulares em A , assim temos:

A ⋅ A T = U Σ V T ⋅ U Σ V T T

Multiplicando termo a termo:

A ⋅ A T = U ⋅ U T ⋅ Σ ⋅ Σ T ⋅ V ⋅ V T

Agora lembrando que V ⋅ V T = I e Σ = Σ T , nossa multiplicação fica assim:

A ⋅ A T = U ⋅ U T ⋅ Σ 2 ⋅ I

Passo 3

Por fim temos que:

A A T = U ⋅ Σ 2 ⋅ U T

Comparando com A   =   U Σ V T temos que:

A A T = A ' ,   Σ U T = V ' T

Assim temos:

A ' = U Σ V ' T

Isso indica que U diagonaliza A A T .

Como a matriz U vem da decomposição de valores singulares de A e é ortogonal, e nossa matriz Σ 2 é diagonal, como um produto de duas matrizes diagonais, nós temos que U diagonaliza A .

P.S: se ficar um pouco difícil de entender essa última afirmação dá uma olhadinha nos teoremas 9.5 . 3 e 9.5 . 4 , na página 509 , e o exemplo 2 na página 510 .

Isso é tudo pessoal!

Abraços! Até a próxima!

\o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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