Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 18
Mostre que se for uma decomposição em valores singulares de , então diagonaliza ortogonalmente
Passo 1
Vamos lá! Temos que lembrar algumas coisinhas antes pra facilitar nossa vida.
é uma matriz formada da decomposição de valores singulares de , e é ortogonal, assim temos que:
Para não esquecermos é a matriz identidade.
E temos que lembrar que nossa matriz é diagonal, assim .
Passo 2
Agora vamos usar a decomposição de valores singulares em , assim temos:
Multiplicando termo a termo:
Agora lembrando que e , nossa multiplicação fica assim:
Passo 3
Por fim temos que:
Comparando com temos que:
Assim temos:
Isso indica que diagonaliza .
Como a matriz vem da decomposição de valores singulares de e é ortogonal, e nossa matriz é diagonal, como um produto de duas matrizes diagonais, nós temos que diagonaliza .
P.S: se ficar um pouco difícil de entender essa última afirmação dá uma olhadinha nos teoremas e , na página , e o exemplo na página .
Isso é tudo pessoal!
Abraços! Até a próxima!
\o/
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)