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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 9

Resolva o sistema linear x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10 por eliminição gaussiana.

Passo 1

Analisando o sistema x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10 temos que obter a matriz aumentada que é:

1 - 1 3 1 - 2 - 7 2 3 4 8 1 10

Passo 2

A eliminição de gaussiana realiza operações entre linhas a fim de termos o elementos da diagonal principal iguais a 1 .

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

a fim de dar fluidez ao exercício.

Passo 3

1 - 1 3 1 - 2 - 7 2 3 4 8 1 10 → L 2 → L 2 + L 1 1 0 3 1 - 1 - 7 2 5 4 8 9 10

1 0 3 1 - 1 - 7 2 5 4 8 9 10 → L 3 → L 3 - 3 L 1 1 0 3 1 - 1 - 10 2 5 - 2 8 9 - 14

Passo 4

1 0 3 1 - 1 - 10 2 5 - 2 8 9 - 14 → L 2 → - L 2 1 0 3 1 1 - 10 2 - 5 - 2 8 - 9 - 14

1 0 3 1 1 - 10 2 - 5 - 2 8 - 9 - 14 → L 3 → L 3 + 10 L 2 1 0 0 1 1 0 2 - 5 - 52 8 - 9 - 104

Passo 5

1 0 0 1 1 0 2 - 5 - 52 8 - 9 - 104 → L 3 → - 1 52 L 3 1 0 0 1 1 0 2 - 5 1 8 - 9 2

Passo 6

Agora, é transformar a matriz 1 0 0 1 1 0 2 - 5 1 8 - 9 2   num sistema linear. Vamos colocar parâmetros nas incógnitas da foma

x 1 = x x 2 = y x 3 = z

Dessa forma, temos:

x + y + 2 z = 8 y - 5 z = - 9 z = 2

Passo 7

Com as equações montadas, vamos substituir z = 2 nas primeira e segunda equações e resolvê-las:

y - 5 2 = - 9 y = 10 - 9 y = 1

x + 1 + 2 2 = 8 x = 8 - 5 x = 3

Resposta

A solução do sistema é x ,   y ,   z = ( 3 ,   1 ,   2 )

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Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão t r ( D - 3 E ) (se possível)
Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes de tamanhos A ( 3 ×1 ) B ( 3×6 ) C ( 6×2 ) D ( 2×6 ) E ( 1×3 ) Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida em D C + E A . Para as que
Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes de tamanhos A ( 3 ×1 ) B ( 3×6 ) C ( 6×2 ) D ( 2×6 ) E ( 1×3 ) Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida em B D T C T . Para as que
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão D - E T (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão C C T (se possível)