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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 22

Resolva o sistema linear [[x_1,+,3,x_2,+,x_4,=,0],[x_1,+,4,x_2,+,2,x_3,=,0],[[[-,2,x_2,-,2,x_3,-,x_4,=,0],[2,x_1,-,4,x_2,+,x_3,+,x_4,=,0],[x_1,-,2,x_2,∓,x_4,=,0]]]] por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

([[[[1],[1],[[[0],[2],[1]]]],[[3],[4],[[[-,2],[-,4],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[0],[[[-,1],[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[1],[1],[[[0],[2],[1]]]],[[3],[4],[[[-,2],[-,4],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[0],[[[-,1],[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 2 -> L 2 - L 1)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[2],[1]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,4],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 3

([[[[1],[0],[[[0],[2],[1]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,4],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 4 -> L 4 - 2 L 1)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[1]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,10],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[-,1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0],[1]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,10],[-,2]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[-,1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 5 -> L 5 - L 1)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,10],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[-,1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 4

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[-,2],[-,10],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[-,2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,1],[-,1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 3 -> L 3 + 2 L 2)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[-,10],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3],[-,1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[-,10],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[2],[1],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3],[-,1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 4 -> L 4 + 10 L 2)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[2],[21],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3],[-,11],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 5

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[2],[21],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3],[-,11],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 3 -> (1)/(2) L 3)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[1],[21],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,11],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[1],[21],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,11],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 5 -> L 5 + 5 L 2)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[0]]]],[[[[0],[2],[[[1],[21],[9]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,11],[-,5]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 6

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[0]]]],[[[[0],[2],[[[1],[21],[9]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,11],[-,5]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 4 -> L 4 - 21 L 3)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[1],[0],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,85,//,2],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[-,5]]]],[[[[0],[2],[[[1],[0],[-,1]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,85,//,2],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) underset(L 5 -> L 5 - 9 L 3)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[0]]]],[[[[0],[2],[[[1],[0],[0]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,85,//,2],[-,37,//,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]])

Passo 7

Agora, vamos transformar a matriz ([[[[1],[0],[[[0],[0],[0]]]],[[3],[1],[[[0],[0],[0]]]],[[[[0],[2],[[[1],[0],[0]]]],[[1],[-,1],[[[-,3,//,2],[-,85,//,2],[-,37,//,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0],[0]]]]]]]]) num sistema linear e resolvê-lo:

[[x_1,+,3 x_2,+,x_4,=,0],[x_2,+,2,x_3,-,x_4,=,0],[[[x_3,-,(3)/(2),x_4,=,0],[-,(85)/(2),x_4,=,0],[-,(37)/(2),x_4,=,0]]]]

Passo 8

Vemos que, como x_4 = 0 , automaticamente todas as outras soluções serão zero bastando apenas substituir na equação.

Resposta

A solução do sistema é (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = (0 , 0 , 0 , 0) .

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Sejam A = 3 - 2 7 6 5 4 0 4 9 e B = 6 - 2 4 0 1 3 7 7 5 use o método das linhas ou das colunas (como for apropriado) para encontrar (e) a terceira linha de A A
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 4 B C + 2 B (se possível)
Sejam A = 3 - 2 7 6 5 4 0 4 9 e B = 6 - 2 4 0 1 3 7 7 5 use o método das linhas ou das colunas (como for apropriado) para encontrar (b) a terceira linha de A B
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão - A C T + 5 D T (se possível)
Usando as matrizes A = 3 - 2 7 6 5 4 0 4 9 e B = 6 - 2 4 0 1 3 7 7 5 (b) expresse cada vetor coluna de B B como uma combinação linear dos vetores coluna de B