Exercícios de Resolvendo Sistemas Lineares - Lista de Exercícios Resolvida

Mostre que o conjunto solução do sistema :

não irá se alterar se acrescentarmos a equação ___ (não resolva o sistema!)

Utilize escalonamento para resolver o seguinte sistema de equações.

Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) num tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento?

Se

Encontre , , e .

Se o termo é a solução do sistema abaixo, então é igual a:

a) -8

b) -7

c) -6

d) -5

e) -4

Resolva o sistema abaixo pelos métodos pedidos.

a) Método da substituição.

b) Método da adição.

c) Escalonamento.

Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

Considere o sistema linear

1. Encontre todas as soluções do sistema homogêneo associado e represente este espaço de soluções como um espaço gerado.
2. Verifique que é solução do sistema não-homogêneo acima.
3. Enconte todas as soluções e represente-as como um espaço gerado deslocado da origem.

O sistema linear admite a solução . A soma de é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Assinale a solução geral do sistema linear representado pela matriz aumentada:

Considere o sistema onde e

A soma das entradas da única solução do sistema vale:

é o conjunto solução de qual das equações abaixo?

(A)

(B)

(C)

(D)

Resolva a seguinte equação matricial em termos de , , e .

Encontre as matrizes , e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

(a)

Encontre as matrizes , e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

(b)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

b)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

a)

Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

a)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

c)

Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

b)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

d)

9) Resolva os seguintes sistemas, , e são constantes.

a)

Qual das expressões abaixo NÃO REPRESENTA a solução geral do sistema:

Considere o sistema linear de equações

1. Determine e para que o sistema tenha infinitas soluções.
2. Determine e para que o sistema não tenha solução.
3. Ache a solução do sistema quando e .

Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Quais as condições que e devem satisfazer pra que o sistema tenha infinitas soluções? Neste caso, qual o grau de liberdade do sistema?

Qual é a solução geral do sistema abaixo?

Obs: abaixo, s e t são parâmetros reais.

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere o sistema abaixo e assinale o valor de quando

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere o sistema abaixo e assinale o conjunto que NÃO REPRESENTA a sua solução geral:

(a)

(b)

(c)

(d)

A última equação do sistema linear abaixo é uma combinação das três primeiras. A soma dos coeficientes dessa combinação é:

(a) 3

(b) −1

(c) 0

(d) 2

Se é solução do sistema

então x + z é igual a:

(a) 11

(b) 9

(c) 5

(d) 7

Sejam e considere o sistema linear

nas incógnitas reais Considere também as seguintes afirmações:

(I) se são tais que esse sistema possui solução, então o seu conjunto solução será descrito usando no máximo uma variável livre;

(II) esse sistema é impossível para certos valores de ;

(III) se esse sistema tiver infinitas soluções, então .

As afirmações verdadeiras são:

1. apenas a 2
2. apenas a 1 e 2
3. apenas a 1
4. apenas a 2 e 3
5. apenas a 1 e 3

O sistema linear associado à matriz aumentada:

Tem solução única Então é:

(a) 8

(b) 18

(c) 22

(d) 26

Podemos afirmar que a solução do sistema linear

É uma reta que passa pela origem.

É um plano que não passa pela origem.

É um plano que passa pela origem.

É uma reta que não passa pela origem.

A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada é:

Dada uma matriz , podem existir vetores não nulos , tais que , onde (nesse caso é dito autovetor de associado ao escalar ).

Suponha que e . Então, se sabemos que a primeira coordenada de é igual a , a soma das coordenadas de será igual a:

Assinale a solução geral do sistema:

a)

b)

c)

d)

e) Não sei.

Assinale, dentre os sistemas abaixo, aquele cujo conjunto-solução é o plano gerado pelos vetores e :

Sejam , matrizes e uma matriz .

Se a matriz existe e

admite solução? A solução é única? Justifique sua resposta.

Sejam e os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta correta:

1. Se o sistema tem apenas a solução trivial, então o sistema não possui solução.
2. Se o sistema tem solução, então o sistema tem uma solução não-trivial

Ambas são verdadeiras.

é verdadeira e é falsa.

Ambas são falsas.

é verdadeira e é falsa

Quais valores de e fazem com que o sistema linear a seguir não tenha solução?

Um dado é lançado vezes seguidas e os obtidos, , e , formam o lado direito do sistema abaixo:

Podemos afirmar que o sistema possui:

Uma chance em de ter solução

Uma chance em de ter solução

Uma chance em de ter solução

Uma chance em de ter solução

Considere o seguinte sistema linear:

Assinale os valores de para os quais o sistema tem mais de uma solução:

e

Calcule o valor de sabendo que:

2. .
4. .

Considere o sistema de equações lineares

Onde é um número real.

(a) Obtenha uma forma escalonada para a matriz aumentada do sistema acima.

(b) Com base na matriz obtida no item (a), determine para quais valores de o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução, e para quais valores admite infinitas soluções.

(c) Determine as soluções do sistema no caso em que e as escreva na forma vetorial paramétrica.

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

b) Se e são matrizes , então

Considere , onde é , e seja a forma escalonada. Assinale a afirmativa FALSA:

Se então

Se então

Se então

A condição em e para que a equação tenha solução única é:

Q2. Seja uma matriz real e seja o operador linear tal que , em que can denota a base canônica de . Suponha que o polinômio característico de seja

E que

e ,

Em que denota o autovalor de que tem a parte imaginária positiva e denota o operador identidade de . Temos que a solução geral real do sistema de equações diferenciais é dada por:

Sobre as soluções de um sistema linear , onde é , assinale a afirmativa VERDADEIRA:

São os coeficientes de uma combinação linear das colunas de

São vetores de

São os coeficientes de uma combinação linear das linhas de

São as colunas de

Uma matriz foi escalonada, sofrendo consecutivamente as seguintes operações-linha:

O resultado deste escalonamento é a matriz . Qual é a solução de ?

A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada é:

Quais valores de e fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

Quais das expressões abaixo representa a solução geral da equação linear . (, são parâmetros reais.)

O sistema linear representado pela matriz aumentada possui solução única. A soma dos componentes do vetor solução é: