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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 6

Resolva o sistema linear 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 - 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 1 8 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 1 por eliminição de Gauss-Jordan.

Passo 1

Analisando o sistema 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 - 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 1 8 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 1 temos que obter a matriz aumentada que é:

2 - 2 8 2 5 1 2 2 4 0 1 - 1

Passo 2

A eliminição de Gauss-Jordan realiza operações entre linhas a fim de transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz identidade.

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

a fim de dar fluidez ao exercício.

Passo 3

2 - 2 8 2 5 1 2 2 4 0 1 - 1 → L 1 → 1 2 L 1 1 - 2 8 1 5 1 1 2 4 0 1 - 1

1 - 2 8 1 5 1 1 2 4 0 1 - 1 → L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - 8 L 1 1 0 0 1 7 - 7 1 4 - 4 0 1 - 1

Passo 4

1 0 0 1 7 - 7 1 4 - 4 0 1 - 1 → L 3 → L 3 + L 2 1 0 0 1 7 0 1 4 0 0 1 0

1 0 0 1 7 0 1 4 0 0 1 0 → L 2   → 1 7   L 2 1 0 0 1 1 0 1 4 / 7 0 0 1 / 7 0

Passo 5

1 0 0 1 1 0 1 4 7 0 0 1 7 0 → L 1 → L 1 - L 2 1 0 0 0 1 0 3 / 7 4 / 7 0 - 1 / 7 1 / 7 0

Não conseguimos chegar à matriz identidade. Porém, chegamos à forma escalonada reduzida.

Passo 6

Agora, é transformar a matriz 1 0 0 0 1 0 3 / 7 4 / 7 0 - 1 / 7 1 / 7 0   num sistema linear. Logo, temos:

x 1 + 3 7 x 3 = - 1 7 x 2 + 4 7 x 3 = 1 7 x 3 = t

Repare que transformamos o x 3 num parâmetro t . Agora, é isolar as incógnitas usando o parâmetro para obter

x 1 = - 1 7 3 t + 1 x 2 = 1 7 4 t - 1 x 3 = t

Resposta

A solução do sistema é x 1 = - 1 7 3 t + 1 x 2 = 1 7 4 t - 1 x 3 = t

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Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 1 2 C T - 1 4 A (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão A B (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 2 A T + C (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão C ( B A ) (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão B - B T (se possível)