Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮ a n n .Mostre que o produto AD é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λ j , ou seja, se A =A 1 A 2 … A n , em que A j =a 1 j ⋮ a n j é a coluna j de A, então A D =λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n

A D =λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n =λ 1 a 11 λ 2 a 12 … λ n a 1 n λ 1 a 21 λ 2 a 22 … λ n a 2 n ⋮ λ 1 a n 1⋮… λ 2 a n 2 … ⋮ λ n a n n

Enunciado

Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz A, nxn, por uma matriz D, também nxn.

Agora, sabendo que cada coluna de A pode ser escrita da forma , ou seja:

Até

Compreendemos que A pode ser escrita de modo que .

Por fim, realizando a multiplicação de cada coeficiente , com j = 1, 2, 3... n, pela coluna de A com j equivalente, obtemos:

Mas sabemos que é equivalente ao produto da matriz pelo escalar , ou seja:

Dessa forma, a matriz composta pelos produtos , j = 1, 2, 3... n, é dada por:

A qual é a mesma matriz obtida pelo produto AD.