Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

  1. Mostre que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

Passo 1

Dadas duas matrizes quadradas, nxn:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n .

tr(A) = a 11 + a 2 2 + a 3 3 + … + a n n

tr(B) = b 11 + b 22 + b 33 + … + b n n

Passo 2

A soma de A e B é dada por:

A + B =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n + b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

A + B =   a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ ⋯ a 1 n + b 1 n a 2 n + b 2 n     ⋮                                     ⋯ ⋮ a n 1 + b n 1 a n 2 + b n 2 ⋯ a n n + b n n

Logo,

) t r ( A + B )   =   ( a 11 + b 11 ) +   ( a 22 + b 22 ) + … +   (   a n n + b n n

Passo 3

tr(A) + tr(B) = ( a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n ) + ( b 11 + b 22 + b 33 + … + b n n )

Que pode ser reescrito da forma:

tr(A) + tr(B) = a 11 + b 11 + a 22 + b 22 + … +     a n n + b n n

Resposta

tr(A+B) = tr(A) + tr(B) = a 11 + b 11 + a 22 + b 22 + … +     a n n + b n n

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