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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 26a

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

  1. Mostre que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

Passo 1

Dadas duas matrizes quadradas, nxn:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n .

tr(A) = a 11 + a 2 2 + a 3 3 + … + a n n

tr(B) = b 11 + b 22 + b 33 + … + b n n

Passo 2

A soma de A e B é dada por:

A + B =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n + b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

A + B =   a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ ⋯ a 1 n + b 1 n a 2 n + b 2 n     ⋮                                     ⋯ ⋮ a n 1 + b n 1 a n 2 + b n 2 ⋯ a n n + b n n

Logo,

) t r ( A + B )   =   ( a 11 + b 11 ) +   ( a 22 + b 22 ) + … +   (   a n n + b n n

Passo 3

tr(A) + tr(B) = ( a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n ) + ( b 11 + b 22 + b 33 + … + b n n )

Que pode ser reescrito da forma:

tr(A) + tr(B) = a 11 + b 11 + a 22 + b 22 + … +     a n n + b n n

Resposta

tr(A+B) = tr(A) + tr(B) = a 11 + b 11 + a 22 + b 22 + … +     a n n + b n n

Exercícios de Livros Relacionados

Partindo da matriz m = a 1b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 E supondo ∆ = det ⁡ m ≠ 0 , use três vezes a regra de cramer para mostrar que m - 1 = 1 ∆ M 1 M 2 M 3 N 1 N 2 N 3 P 1 P 2 P 3 , Onde M i = - 1
Seja m = a 1 b 1 a 2 b 2 Tal que ∆ = det ⁡ m ≠ 0 . resolva os sistemas de equação lineares. a 1 x 1 + b 1 x 2 = 1 a 1 y 1 + b 1 y 2 = 0 a 2 x 1 + b 2 x 2 = 0 a 2 y 1 + b 2 y 2 = 1 E obtenha uma fórmul
Sejam m e p matrizes 3x3 , com p invertível. prove que m e p - 1 m p têm o mesmo traço.
Escreva um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas. Resolva-o por eliminação, pela regra de Cramer e pela fórmula x = m - 1 . d . Compare e comprove qual dos três métodos é o mais eficiente.
No Exercício 2, mostre que se det ⁡ m ≠ 0 então a função M transforma todo paralelogramo P (ou paralelepípedo, conforme se considere R 2o uR 3 ) noutro paralelogramo (ou paralelepípedo) P ' tal que ár