Operações Elementares e Escalonamento
Teoria
Fala aí! Nesse tópico vamos aprender sobre as operações que a gente pode fazer em uma matriz que vão nos ajudar muito. Essas operações são as chamadas operações elementares das matrizes e a gente pode entender que são maneiras permitidas de “embaralhar” a nossa matriz sem que a informação por trás daquela matriz seja alterada. A gente vai entender isso ao longo desse tópico, pode confiar!
Você deve estar se perguntando o porquê da gente estar fazendo isso. Bem, por enquanto só confia em mim que isso vai nos permitir realizar um outro procedimento, o chamado escalonamento de uma matriz que vai facilitar muito a nossa vida.
Beleza, então vamos começar!!
Operações Elementares
Bom, vamos entender melhor essas tais operações elementares realizando cada uma delas em uma matriz qualquer, no caso eu separei essa matriz aqui:
Nada de especial nela né? Mas tudo bem, o importante é que a gente vai começar a mudar a cara dela com as operações que são permitidas.
Troca de Linhas
Nossa primeira operação elementar é a troca de linhas. Nós podemos trocar quaisquer duas linhas que a gente queira da nossa matriz. Eu vou trocar a primeira linha com a segunda, mas você tá permitido fazer isso com quaisquer duas linhas da nossa matriz. A gente representa essa troca por esse código aqui:
Isso vai transformar a nossa matriz nessa matriz aqui:
É importante dizer que essa matriz já não é mais a nossa matriz inicial. Ela é o que a gente chama de matriz equivalente à matriz . No fundo, as duas carregam a mesma informação, mas elas não são iguais, leva isso no coração.
Multiplicar Linhas por uma constante
Outra operação elementar que a gente pode fazer é multiplicar qualquer linha por algum número real. Por exemplo, eu quero multiplicar a primeira linha por . A representação dessa operação é a seguinte:
A gente faz esse produto, multiplicando cada elemento dessa primeira linha por . Fica assim, ó:
Belezinha? Já fizemos duas operações elementares em em sequência. Ela já está bem diferentona da nossa matriz original né? Vamos para mais uma operação elementar.
Combinar Linhas
Essa é mais uma operação que a gente pode fazer aqui. É o seguinte. A gente pode trocar uma linha por um múltiplo dela mesma mais um múltiplo de outra linha. Confuso? Não tem problema, olha o exemplo aqui.
Eu vou trocar a nossa primeira linha que é por ela mesma somada a duas vezes a segunda linha . A gente representa essa operação assim:
Na prática a nossa primeira linha vai virar isso aqui:
Realizando esses produtos, a gente tem
Fazendo essas somas, nossa matriz ao final desta operação elementar é
Agora podemos falar da nossa última operação elementar.
Eliminar linhas nulas
A última operação elementar que a gente pode fazer é eliminar linhas nulas, ou seja, eliminar as linhas que só tem zeros como elementos. Olhando a nossa matriz, vemos que a última linha dela é uma linha nula. Então... infelizmente, ela vai ter que se retirar a nossa matriz ☹.
Por fim, nossa matriz, depois de todas essas operações elementares, se tornou essa matriz aqui
Que, lembrando, é equivalente à matriz que a gente começou.
Show de bolas, agora vamos ver aonde essas operações elementares entram.
Escalonamento
Chegamos a um assunto muito importante nesse mundão das matrizes, o escalonamento. Bem, para quem não conhece, o escalonamento é um série de operações elementares (essas mesmas que você viu aqui em cima) para chegar em uma matriz equivalente.
Mas não é qualquer matriz equivalente não! É uma matriz que vai seguir a mesma regra das matrizes a seguir
; ;
Conseguiu ver um padrão? Eu marquei aqueles zeros de propósito. A regra das matrizes escalonadas lembra muito uma matriz triangular superior. A única diferença é que nas matrizes triangulares superiores a gente tinha que ter matrizes quadradas. Aqui não, pode ser qualquer tipo de matriz.
Vamos para as regrinhas que define se uma matriz está na sua forma escalonada ou não. Uma matriz está escalonada se:
- O primeiro elemento da primeira linha é diferente de zero e abaixo dele só existem zeros;
- O segundo elemento da segunda linha é diferente de zero e à esquerda e abaixo dele só existam números zero;
- O terceiro elemento da terceira linha é diferente de zero e à esquerda e abaixo dele só existam números zero;
- O quarto elemento da quarta linha é diferente de zero e à esquerda e abaixo dele só existam números zero;
A gente vai seguindo essas regrinhas até acabarmos as linhas da matriz, combinado?
Bem, chegou a hora da gente ver aquele exemplo e aprender esse monte de informação na prática. O passo a passo que eu vou seguir aqui vale sempre para escalonar as matrizes. Então vem com a gente que vai ser sucesso!
Vamos escalonar essa matriz aqui
A gente sempre começa olhando o primeiro elemento da primeira linha que, nesse caso é o número . De acordo com as regras para escalonar uma matriz, a gente precisa que todos os números abaixo dele sejam zero.
Opa! Então, a gente tem que arrumar um jeito de zerar aquele logo abaixo, não é? Pensa aí em uma maneira de zerar o sem ser multiplicando-o por zero (isso é proibido hein!!).
Bem, a maneira que eu pensei aqui seria fazendo ele menos ele mesmo . E como a gente conseguiria isso através das operações elementares? Olha, a maneira que eu pensei nos leva a pegar a segunda linha e subtrair duas vezes a linha de cima:
Vamos ver o que ocorre quando fazemos isso:
Realizando os produtos nessa matriz, ficamos com
Já deu para ver que apareceu a continha que a gente queria no primeiro elemento da segunda linha né? Realizando as subtrações, ficamos com
Será que a gente tem que seguir o procedimento para a linha de baixo? Bem, vamos dar uma conferida. Na segunda linha, o segundo elemento da segunda linha é diferente de zero e à esquerda dele a gente tem zero.
Epa! Bateu com os nossos requisitos para ser uma matriz escalonada. Então já conseguimos escalonar aquela matriz que a gente queria!!
Show? Vamos ver uma matriz um pouco maior para ficarmos craques.
Vamos escalonar essa matriz daqui:
Vamos lá! Começamos pelo primeiro elemento da primeira linha, que nesse caso é o número 1. Temos que zerar aquele 2 e aquele 1 que estão abaixo dele usando operações elementares.
Bem, para zerar o 2, eu acho uma boa a gente fazer essa operação daqui
Por que vai aparecer um (2-2) que vai nos ajudar na nossa tarefa. Vamos fazer essa operação aí:
Fazendo as subtrações e tomando cuidado que menos com menos dá mais ficamos com
E conseguimos zerar o primeiro número abaixo do nosso 1 da primeira linha!! Agora vamos zerar aquele 1 da última linha. Nesse, a gente vai subtrair a terceira linha com a primeira:
Isso fica assim:
Show! Zeramos todos os números debaixo do primeiro elemento da primeira linha. Regra 1, check!!
Agora precisamos ir para a segunda linha. O primeiro número diferente de zero nela está na segunda coluna e é o 6. Tudo bem até aí. Para continuarmos escalonando esta matriz, precisamos zerar os números abaixo desse 6. Só restou aquele 4 ali. Temos que arrumar alguma maneira de sumir com ele.
Bom, a gente pode arrumar um monte de caminhos para zerar o 4, mas eu acho que é mais fácil, primeiro, transformar esse 6 em algo mais simples, você já vai entender o porquê.Vamos subtrair a segunda linha com a terceira:
Isso nos leva a
Fazendo essas subtrações e tomando cuidado com os sinais (lembra, menos com menos dá mais) temos
Viu que aquele antigo 6 virou um 2. Agora sim vamos zerar aquele 4 ali debaixo. A gente consegue isso subtraindo a linha 3 de duas vezes a linha 2 (Por isso que simplificamos um pouco a linha 2):
Isso nos leva a
Fazendo esses produtos e tomando cuidado com os sinais (lembra, menos com menos dá mais) temos
Realizando as subtrações chegamos a esta matriz aqui:
Temos que fazer mais alguma coisa? Se formos olhar as regrinhas, atendemos todas elas até a terceira linha que é a nossa última.
Então fechooou! Chegamos à forma escalonada da matriz do problema! E como eu falei, se formos seguindo esse procedimento, a gente consegue escalonar todas as matrizes que aparecerem!E assim a gente chega ao fim deste tópico. Vamos treinar agora nos exercícios??Te vejo lá 😊
Combinar Linhas
Eliminar linhas nulas
Escalonamento
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Apostila PUC
Reduza a matriz a sua forma escalonada:
Passo 1
Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?
Espero que siiim ein !!
O nosso objetivo é chegar na matriz escalonada, não é? Vamos ver como é a carinha dela?
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! Aqui os elementos abaixo do pivô devem ser zero, mas os elementos acima ainda não nos importam!!
Então nosso objetivo é manipular esta matriz para conseguir chegar em algo com essa cara, belezura?
Vou começar dividindo a primeira linha por dois, para achar o pivô da primeira coluna:
Então:
Agora vamos pensar, como zerar o valor abaixo do 1?
Se eu fizer a seguinte operação:
Conseguimos achar um zero, não é? Vocês podem optar por outras manipulações, contanto que ache o zero:
E olha que massa !! Conseguimos zerar o valor abaixo do 1, e ainda achamos um outro pivô !!
E assim nós chegamos na forma escalonada !
Resposta
Exercício Resolvido #2
Apostila Geometria Analítica - UFJF
Encontre uma matriz escalonada equivalente a:
Passo 1
Esta aqui nos pede apenas uma matriz escalonada equivalente. Vamos lembrar o que é uma matriz escalonada equivalente? É uma matriz parecida com essa:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os abaixo dele devem ser zero !! Os de cima aqui não nos importam tanto, ok?
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós não temos o 1 na posição certa, certo? Mas podemos fazer uma manipulação matemática e achá-lo. Conseguimos o 1 nesse primeiro cara dividindo a linha toda pelo valor deste primeiro carinha:
Então:
Show, já temos nosso pivô certinho na primeira linha. Agora vamos zerar esse 2 e 4 que estão abaixo deste pivô?
Então:
Agora o que nós precisamos é achar o pivô da segunda coluna, certo?
E como faremos isso? Dividindo a linha toda pelo seu valor!!
Então:
E agora zeramos esse 6 que vem logo embaixo, não é assim?
Sendo assim:
E agora o que faremos?
Transformaremos este -7 aí em outro pivô:
Então:
E chegamos ao que queríamos, não é?!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Apostila PUC
Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:
Passo 1
Nesse problema aqui o enunciado nos pede para reduzir a matriz à sua forma escalonada reduzida...
Pera aí, reduzida?! Qual a diferença entre um matriz escalonada e uma escalonada reduzida?
Na matriz escalonada nós temos:
Onde esse * pode ser qualquer número. Beleza? Já na escalonada reduzida, temos:
Isso quer dizer que a diagonal principal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs e os demais devem ser zero !!
Então nosso objetivo é manipular esta matriz para conseguir chegar em algo com essa cara ai !
A primeira linha e a terceira já possuem 1 no lugar certinho, certo? Então vamos começar tentando zerar o 2 que aparece na primeira coluna!
Para isso podemos fazer:
Então:
Já está proximo do que queremos, não é?
Mas ainda tem um 4 intrometido alii
Para transformá-lo em 1 nós podemos dividir toda a linha 2 por 4, de boas?
Então:
Shooow de bolinhas, chegamos aonde queríamos !!
Vamos para mais uma?
Resposta
Exercício Resolvido #4
Apostila Álgebra Linear I - UNEB
Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:
Passo 1
Vamos seguindo galerinhaa??
Nós já sabemos que a forma escalonada reduzida tem essa cara aí:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais devem ser zero !!
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós já temos o pivô, certo? Então nós só precisamos zerar o 2 e o -1 abaixo desse pivô, certinho?
Vamos ver o que podemos fazer?
Então:
Agora nós precisamos transformar esse -5 aí em 1, certo? Porque precisamos achar o pivô para a segunda coluna, então podemos fazer a seguinte operação:
Então:
Para achar a forma reduzida nós precisamos zerar o 2 que está acima do pivô e o 3 abaixo:
Sendo assim:
E agora o 7 precisa virar um pivô:
Então:
Agora vamos zerar os valores acima do pivô da terceira coluna?
E então:
Shooow de bolinhas ?!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Apostila Álgebra Linear I - UNEB
Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:
Passo 1
Mais uma pra gente testar nossas habilidades com escalonamento !! E não se enganem, vai ser muito importante apresdermos a manipular as matrizes para deixar nossa vida mais fácil lá na frente!!
Nós já sabemos que a forma escalonada reduzida tem essa cara aí:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais devem ser zero !!
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós temos o -1, mas precisamos do 1 !!
Vamos ver o que podemos fazer?
Então:
Agora precisamos zerar os números (2 e 1) abaixo deste primeiro 1 que acabamos de encontrar!! Vamos ver como?
Então:
Agora vamos transformar o 5 em um pivô, né verdade? Que tal nós usarmos:
Então:
E agora nós zeramos os números que estão acima e abaixo do pivô. Então vamos sumir com esse -1 e o 5 fazendo:
Sendo assim:
E agora o -7/5 e o 3/5 precisam virar zero também não é?!
Então:
E assim nós escalonamos mais uma matriz !! Sei que vocês já estão feras, mas vamos continuar mais um pouco pra vocês não esquecerem mais !!
Resposta
Exercício Resolvido #6
Apostila Geometria Analítica - UFJF
Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:
Passo 1
Shooow galerinhaa!! Vamos seguir?!
Nós já sabemos que a forma escalonada reduzida tem essa cara aí:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais devem ser zero !!
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós não temos o 1 na posição certa, certo? Mas podemos fazer uma troca entre as linhas 1 e 2 porque na linha 2 o 1 está lá na posição que a gente quer:
Então a matriz vai ficar um pouco diferente:
Agora vamos zerar o que está abaixo deste pivô (os números 2 e 3)? Podemos fazer:
Então:
Olha que legal !! Quando nós fazemos isso nós acabamos achando o pivô da segunda coluna, não é?
Então só nos resta zerar os números acima e abaixo dele:
Sendo assim:
Mais uma vez nós acabamos achando nosso pivô !! Isso já nos facilita e muito, não é?
Agora vamos só zerar os que estão acima e prontoo:
Então:
Legal, não foi?!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Apostila UFRJ
Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:
Passo 1
Shoow galerinha, agora nós vamos escalonar esta matriz que o problema nos deu até sua forma reduzida, ou seja, nós queremos algo com essa cara aí:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais devem ser zero !!
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós precisamos que apareça o número 1 ao invés do 3, então nós vamos manipular esta linha de modo que este 1 apareça !!
Olhem só, na terceira linha nós temos o 1 bem aonde queríamos, então vamos simplesmente trocar de lugar as linhas 1 e 3:
Então:
Agora nós precisamos trasnformar tudo que está abaixo do 1 em 0. Pensem comigo, se eu fizer as seguintes operações:
Então:
Para fazer aquela continha com fração que apareceu na linha 3, a gente faz o seguinte:
Nossa matriz fica com essa carinha aqui:
Shooow !! Agora nós precisamos transformar este -3 ali em 1, não é? E aí ?
Vocês podem fazer qualquer operação, contanto que o 1 apareça e que você não tire os zeros que vocês acabou de achar!!
Eu pensei na seguinte:
Sendo assim:
Para termos uma matriz reduzida nós precisamos transformar em zero os numeros acima e abaixo do pivô, 1, certo?
Então vamos pensar aqui em novas operações:
Então:
Agora é a vez do 3 ser transformado em pivô, né verdade?
E temos um jeito bem fácil pra isso:
Então:
Quase lá!!! Para finalizar esta aqui vamos tranformar este -2 aí em 0:
E assim:
Sucessooooo !! Chegamos ao fim de mais umaa !!
Resposta
Exercício Resolvido #8
Apostila Escalonamento de Matrizes - ULBRA
Encontre uma matriz escalonada equivalente a:
Passo 1
Vamos seguindo??
Esta aqui nos pede apenas uma matriz equivalente, ou seja:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os abaixo dele devem ser zero !! Os de cima aqui não nos importam tanto, apenas se nos pedissem matriz escalonada reduzida, como já vimos, ok?
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós não temos o 1 na posição certa, certo? Mas na segunda nós temos, então podemos simplesmente trocar de lugar, não podemos?
Então:
Shooow !! Se achamos o pivô agora nós só precisamos zerar tudo abaixo, ou seja, so precisamos zerar este 2 aí:
Então:
Olha que legal, nós temos um -1 alí bem onde deveria ter um pivô, não é?! Então fica fácil transformá-los em 1:
Então:
E o próximo passo vocês já sabem, não é? Vamos zerar esse 3:
Então:
E vamos finalizar transformando este -19 aí em pivô:
Então:
O que acharam desta, ein galerinha ?!
Resposta
Exercício Resolvido #9
Apostila Álgebra Linear - Estácio
Encontre uma matriz escalonada equivalente a:
Passo 1
Mais uma bem legal, não é?
Animados ?!
Esta aqui nos pede apenas uma matriz equivalente, ou seja:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os abaixo dele devem ser zero !! Os de cima aqui não nos importam tanto, apenas se nos pedissem matriz escalonada reduzida, como já vimos, ok?
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós já temos o pivô, não é?! Então shoow de bola!!
Agora nós vamos zerar tudo abaixo, não é?
Então:
Como o pivô da segunda coluna já apareceu, vamos só zerar aquele -1 logo em baixo, certo?
Então:
E vamos finalizar com chave de ouro transformando o -4 no nosso último pivô:
E nossa matriz vai ficar assim:
E aí, gostaram dessa ?!
Resposta
Exercício Resolvido #10
Apostila Geometria Analítica - UFJF
Encontre uma matriz escalonada reduzida equivalente a:
Passo 1
E agora, para finalizar nossa seção com chave de ouro, vamos achar a matriz reduzida equivalente, ou seja:
Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais valores devem ser zero !!
Bom galerinha, ali na primeira coluna nós não temos o pivô, não é?! Mas tá bem fácil achar, basta nós dividirmos tudo por 2:
Então:
Agora nós precisamos zerar tudo que está abaixo do nosso pivô na primeira coluna:
Então:
Agora o 12 que está no lugar do pivô deve ser transformado em 1:
Então:
Como o pivô da segunda coluna já apareceu, vamos só zerar aquele -3 e o 12, certo?
Então:
Bom galerinha, nó zeramos o pivô !!
Não tem como nós fazermos o 1 aparecer ali sem sumir com os zeros que achamos ou os pivôs, então nós achamos a matriz reduzida neste ponto, ok?
E assim nós chegamos ao fim de mais umaa !!