Sistemas Lineares

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Teoria

Fala aíííííí! Vamos começar os nossos estudos de sistemas lineares... é, você não leu errado, vamos estudar sistemas lineares mesmo!

Vamos lembrar o que é um sistema linear? É um conjunto de equações que envolvem uma ou mais variáveis a serem descobertas. Ele tem essa carinha aqui

x + y = 5 2 x - y = 1 Em que a gente quer encontrar o x e o y que satisfazem esse sistema linear. Existem algumas técnicas que a gente aprende na escola para resolver esses sistemas mas aqui a gente vai aprender como resolver isso usando matrizes. E o legal é que o procedimento que eu vou te ensinar serve para quaisquer sistemas lineares!

Se você está estranhando que não apareceu nenhuma matriz aqui, pode ficar aliviado. A matriz está escondidinha ali, vamos entender isso agora.

Matriz ampliada e matriz dos coeficientes

Bom, para transformarmos um sistema linear em uma matriz, vamos primeiro prestar atenção nos números que a gente tem no nosso sistema linear:

1 . x + 1 . y = 5 2 . x - 1 . y = 1

Os números que eu marquei de vermelho são os coeficientes do nosso sistema linear e os números em azul são os resultados mesmo. Se a gente pegar o sistema do jeito que está a gente já consegue montar a nossa matriz.

Vamos montar ela aos poucos. A estrutura da nossa matriz vai ser a seguinte:

  • O número de linhas da matriz vai ser o número de equações que o sistema linear possui;
  • O número de colunas da matriz vai ser o número de incógnitas + 1 (a gente soma esse 1 aí pois uma das colunas vai estar responsável pelos resultados do nosso sistema linear).

Como no nosso sistema linear nós temos 2 equações e 2 incógnitas, nossa matriz vai ter 2 linhas (associadas ao número de equações) e 3 colunas (associadas ao número de incógnitas + 1):

( ? ? ? ? ? ? )

Nossa tarefa agora é preencher esses espaços da nossa matriz. Vamos fazer isso conhecendo coluna a coluna.

A primeira coluna da nossa matriz vai estar associada à incógnita x . Ela deve carregar todos os coeficientes de x que aparecem no nosso sistema linear. Dando uma olhada nele, nós temos que na primeira equação o x está sendo multiplicado por 1 e na segunda por 2 . Muito bem, agora é só colocar esses números na nossa matriz seguindo a ordem que aparecem no nosso sistema linear

( 1 ? ? 2 ? ? )

Já a segunda coluna da nossa matriz vai estar associada à incógnita y . Ela deve carregar todos os coeficientes de y que aparecem no nosso sistema linear. Dando uma olhada nele, nós temos que na primeira equação o y está sendo multiplicado por 1 e na segunda por - 1 . Muito bem, agora é só colocar esses números na nossa matriz seguindo a ordem que aparecem no nosso sistema linear

1 1 ? 2 - 1 ?

Belezaa! Só falta preencher a última coluna. Nessa última coluna, só nos resta por os resultados do nosso sistema linear na ordem que eles aparecem. Então a nossa matriz fica assim:

1 1 5 2 - 1 1

Prontinho! Conseguimos escrever o nosso sistema como uma matriz. Essa matriz aí é a chamada matriz ampliada do sistema e também é comum que ela apareça dessa forma aqui:

1 1 2 - 1 5 1 Antes de começarmos a resolver esse sistema, vale dizer que podemos construir uma matriz com apenas os coeficientes do nosso sistema linear:

1 1 2 - 1

Essa é a conhecida matriz dos coeficientes. Beleza! Vamos agora ver como resolvemos isso aí.

Resolvendo sistemas lineares

Para resolver esse sistema linear usando as matrizes a gente vai precisar transformar a matriz ampliada em sua forma escalonada. Eu vou fazer todo o procedimento com vocês aqui e pode ficar tranquilo que ele vale sempre, ok? Vamos lá então. Nossa matriz é essa daqui:

1 1 5 2 - 1 1

Beleza, vamos lembrar como que a gente escalona uma matriz. A gente olha o primeiro elemento da primeira linha e temos que zerar todos os elementos abaixo dele. Feito isso, a gente vai pro segundo elemento da segunda linha e zera os elementos abaixo dele.... e por aí vai, até a última linha.

Vamos começar.

O primeiro elemento da primeira linha é o número 1 . Abaixo dele a gente tem o número 2 que a gente precisa zerar. A gente consegue zerar esse 2 da segunda linha fazendo a seguinte operação elementar:

L 2 ← L 2 - 2 .   L 1

Realizando esta operação na nossa matriz, ficamos com

1 1 5 2 - 2 × 1 - 1 - 2 × 1 1 - 2 × 5

Fazendo esses produtos temos

1 1 5 2 - 2 - 1 - 2 1 - 10 =   1 1 5 0 - 3 - 9

Chegamos à sua forma escalonada!

Tá, mas e daí? Bem, essa forma escalonada já ajuda demaaais a nossa vida. Quando chegamos nesse ponto a gente volta para a forma do sistema linear.

Lembra que eu falei que na primeira coluna estão os números que vão estar multiplicando a incógnita números que vão estar multiplicando a incógnita x , na segunda coluna vão estar os coeficientes da incógnita y e na terceira os resultado? Então, a gente vai usar essas informações para resgatar a cara de um sistema linear. Olha só como fica:

1 1 5 0 - 3 - 9   →   1 . x + 1 . y = 5 0 . x - 3 . y =   - 9

Agora a gente pode realizar os produtos que apareceram e escrever nosso sistema linear com uma carinha mais bonitinha:

x + y = 5 - 3 y =   - 9

Pois 0 . x = 0 . Já viu a vantagem? Não?Não tem problema, olha só a segunda equação:

- 3 y =   - 9

Ela já nos dá o valor de y . Vamos passar esse - 3 da direita para a esquerda. Como ele estava multiplicando, quando ele passa para o outro lado, ele passa dividindo:

y = - 9 - 3 =   9 3 y = 3

Opaa. Já achamos uma incógnita! Que maravilha!Agora, a gente usa esse valor que encontramos na primeira equação

x + y = 5 x + 3 = 5

Passando esse 3 para o outro lado da igualdade e trocando seu sinal, ficamos com

x = 5 - 3 x = 2

E assim a a gente resolveu o sistema linear. Sempre que se deparar com um sistema linear segue esse roteiro:

  1. Escreva a matriz ampliada desse sistema linear;
  2. Escalone essa matriz;
  3. Depois de obter a matriz escalonada, volte com os coeficiente, volte com o sistema linear;
  4. A última linha do seu sistema linear já vai te fornecer uma das incógnitas do sistema;
  5. Use o valor da incógnita, que você obteve, na linha acima daquela que você usou antes e encontre outra incógnita;
  6. Repita esse procedimento até encontrar todas as incógnitas do sistema.

Classificação de um sistema linear

Já vimos como se resolve um sistema linear. Agora, vamos aprender como a gente classifica um sistema linear.

Algumas vezes vai ser interessante classificarmos o sistema linear para ver se a gente vai ou não conseguir encontrar alguma resposta nele. Como assim? Bem, existem sistemas lineares que são como os que a gente fez aqui em cima, possuem uma única solução para cada uma das incógnitas. Quando isso acontece, dizemos que o sistema linear é possível e determinado.

Maaaas, existem sistemas lineares em que podemos encontrar várias respostas para cada uma das variáveis. Quando isso acontece, dizemos que o sistema é possível e indeterminado.

Por fim, existem sistemas lineares em que a gente não consegue achar resposta alguma para as incógnitas. Estes são os sistemas impossíveis.

Aqui a gente vai ver um procedimento para classificarmos o tipo do sistema linear sem precisar resolvê-lo. Vamos lá!

Vamos considerar o sistema linear a seguir x + 2 y - z = 2 2 x - 3 y + 5 z = 11 x - 5 y + 6 z = 9

Vamos precisar escrever a matriz ampliada do nosso sistema. Como temos 3 equações e 3 incógnitas ( x , y , z ) , nossa matriz ampliada vai ter 3 linhas e 4 colunas. Como vimos aqui, nosso sistema linear se torna:

1 . x + 2 y - 1 . z = 2 2 x - 3 y + 5 z = 11 1 . x - 5 y + 6 z = 9 → 1 2 - 1 2 2 - 3 5 11 1 - 5 6 9 O próximo passo é escalonar a matriz ampliada. Vamos lá.

Precisamos, primeiro, zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira linha que é o número 1. A maneira que eu vou fazer para zerar aquele 2 e 1 ali vai ser realizando as operações elementares abaixo:

L 2 ← L 2 - 2 . L 1 L 3 ← L 3 - L 1

Fazendo isso na nossa matriz ficamos com:

1 2 - 1 2 2 - 2 × 1 - 3 -   2 × 2 5 -   2 × - 1 11 -   2 × 2 1 - 1 - 5 - 2 6 - - 1 9 - 2

Lembrando que - com - + e realizando os produtos temos

1 2 - 1 2 2 - 2 - 3 -   4 5 +   2 11 -   4 1 - 1 - 5 - 2 6 + 1 9 - 2 = 1 2 - 1 2 0 - 7 7 7 0 - 7 7 7  

Beleza, nossa primeira linha já está ok no nosso processo de escalonamento. Vamos para a segunda linha. Precisamos zerar os números abaixo daquele - 7 da segunda linha. Então precisamos zerar aquele - 7 da terceira linha. Maravilha, a gente faz isso através dessa operação aqui

L 3 = L 3 - L 2

Isso nos leva a

1 2 - 1 2 0 - 7 7 7 0 - 7 - ( - 7 ) 7 - 7 7 - 7

Lembrando que - com - + temos

1 2 - 1 2 0 - 7 7 7 0 - 7 + 7 7 - 7 7 - 7 =   1 2 - 1 2 0 - 7 7 7 0 0 0 0

Opa, que isso, acabou zerando a linha 3 todinha. Devo me preocupar? Não, isso encerra nosso escalonamente também.

Beleza, com a matriz ampliada escalonada a gente já pode classificar nosso sistema linear. Antes, deixa eu separar quem é a matriz ampliada escalonada e quem é a matriz dos coeficientes pois a nossa análise vai ser em cima dessas duas matrizes.

Matriz ampliada:

1 2 - 1 2 0 - 7 7 7 0 0 0 0

Matriz dos Coeficientes:

1 2 - 1 0 - 7 7 0 0 0 Com essas duas matrizes em mão só falta eu definir um carinha importante, o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas dessa matriz. Então, o posto da matriz ampliada é p A = 2 pois a matriz ampliada possui duas linhas não nulas. O posto da matriz dos coeficientes é p C = 2 pois a matriz dos coeficientes possui duas linhas não nulas.

Outra coisa que vai ser última vai ser chamar o número de linhas da nossa matriz ampliada de n , nesse exemplo temos que n = 3 .

Agora sim, temos tudo que a gente precisa para classificar um sistema linear. É bem direto, são 3 regrinhas que definem o sistema. São elas:

  1. Se o posto da matriz ampliada for igual ao número de linhas da matriz ampliada p A = n , o sistema é possível e determinado (SPD);
  2. Se o posto da matriz ampliada for menor que o número de linhas da matriz ampliada ( p A < n ) , o sistema é possível e indeterminado (SPI);
  3. Se o posto da matriz ampliada for diferente do posto da matriz dos coeficientes ( p A ≠ p C ) , o sistema é impossível.

No nosso caso, como na matriz ampliada temos n = 3 e p A = 2 ficamos com o seguinto caso, o caso em que p A < n . Então, nosso sistema linear é possível e indeterminado ou a gente usa a sigla SPI para fazer um charme.

Bom galera, é isso, aprendemos tudo sobre resolver um sistema linear usando as matrizes.

Agora, para ficarmos fera, vamos fazer uns exercícios?

Te vejo lá 😊

Resolvendo sistemas lineares

Classificação de um sistema linear

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

3 1 2 3     |     9 13

Passo 1

Faaaala galerinhaa !! Prontos para mais uma ?!

Que estranho... o exercício dá uma matriz e nos pede para resolver um sistema linear... Cadê o sistema linear?!

Calma!

Essa matriz que tá aparecendo é chamada de matriz ampliada do sistema linear. Cada linha representa uma equação do sistema, e a gente pode pensar nas colunas assim: A primeira coluna contém os números que vão multiplicar o x , na segunda coluna a gente tem os números que vão multiplicar o y e na última coluna, a gente tem os resultados:

Essa matriz é a mesma coisa que esse sistema aqui ó:

3 x + y = 9 2 x + 3 y = 13  

Boom galerinha, o escalonamento é algo bem importante, não é?

Isso porque nós podemos escrever sistemas lineares na forma de uma matriz, e ao escalonar nós conseguimos achar a solução do problema de forma mais fácil do que substituindo um no outro, como fazíamos lá no ensino médio !!

Vamos começar achando o pivô para a primeria coluna, certo?

E como faremos para fazer aparecer o 1 no lugar do 3?

Podemos fazer:

L 1 = L 1 3

Então:

3 3 1 3 2 3     |     9 3 13 = 1 1 3 2 3     |     3 13

Agora nós vamos precisar zerar estes termos abaixo do pivô, ok? Isso vai facilitar na hora de resolvermos nosso sisteminha!

Para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 2 L 1

Então:

1 1 3 2 - 2 1 3 - 2   ( 1 3 )     |     3 13 - 2 3

Para resolver essa operação com frações na segunda linha a gente faz:

3 - 2 1 3 =   3 .   3 - 2 3 =   9 - 2 3 =   7 3

Então nossa matriz fica dessa forma aqui:

1 1 3 0 7 3     |     3 7

Bom, nós podíamos seguir a achar o pivô para a segunda coluna, mas quando chegamos nesse ponto nós já achamos uma incógnita em função do resultado, certo?

Como assim?

Bom, a segunda linha representa a segunda equação, a primeira coluna o x, a segunda o y e a terceira a igualdade !! Se é assim, na segunda linha nós temos o x nulo, então o y está em função da igualdade!!

Passo 2

Podemos transformar esta matriz novamente em sistemas lineares

1 x + y 3 = 3

0 . x + 7 y 3 = 7

Na segunda equação nós podemos isolar o y, certo?

0 . x + 7 y 3 = 7       ∴   7 y 3 = 7

Vamos passar quem tá multiplicando o y para o outro lado da igualdade. Cuidado que quando a gente faz isso, quem multiplica passa a dividir e quem dividi passa a multiplicar:

y = 3 7 . 7

y = 3

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 3 y = 3         ∴         x + 1 3 3 = 3

x + 1 = 3

Agora o 1 vai lá para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 3 - 1

x = 2

Olha que massa !!

Acabamos de achar a solução:

x y = 2 3

Bora continuar ?!

Resposta

x y = 2 3

Exercício Resolvido #2

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

1 1 1 1 2 2 2 1 3   |   6 9 11

Passo 1

Mais uma beem legal !! Animados para seguir?

Já vimos que cada linha representa uma equação, e cada coluna um companheiro para as letrinhas assim como o resultado:

A primeira linha já veio com o pivô para facilitar a nossa vida, certo?

Então vamos começar pensando em como zerar os números abaixo dele, 1 e 2, ok?

Para isso nós podemos fazer as seguintes operações:

L 2 = L 2 - L 1

L 3 = L 3 - 2 L 1

Então:

1 1 1 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 2 1 1 - 2 1 3 - 2 1   |   6 9 - 6 11 - 2 6 = 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1   |   6 3 - 1

E com isso nós já achamos o pivô para a segunda coluna, certo?

Então vamos tentar zerar esse -1 que está em baixo dele, certinho?

Vamos fazer isso somando a linha 3 com a 2, assim dá certo, concordam?

L 3 = L 3 + L 2

Então:

1 1 1 0 1 1 0 + 0 - 1 + 1 1 + 1   |   6 3 - 1 + 3 = 1 1 1 0 1 1 0 0 2   |   6 3 2

Nós podíamos manipular mais, mas só até esse ponto já nos facilita, e muito, a vida, não é?

Passo 2

Se nesse ponto ela já nos ajuda, então só nos resta transformá-la em equações lineares !!

Lembrando que cada linha é uma equação linear, a primeira coluna é o par do x, a segunda do y, a terceira do z e última a igualdade:

1 x + 1 y + 1 z = 6

0 . x + 1 y + 1 z = 3

0 . x + 0 y + 2 z = 2

Da terceira linha nós conseguimos achar o z:

0 . x + 0 y + 2 z = 2       ∴       2 z = 2

O 2 que está do ladinho de z passa para o outro lado dividindo, certo?

z = 2 2

z = 1

Na segunda coluna nós podemos achar o y, basta substituirmos o z:

0 . x + 1 y + 1 z = 3           ∴           y + 1 = 3

O 1 vai passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto, e deixar o y sozinho, só assim pra gente conseguir achá-lo:

y = 3 - 1

y = 2

Na primeira equações nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 y + 1 z = 6           ∴           x + 2 + 1 = 6

x + 3 = 6

E agora é a vez do 3 passar com sinal oposto para o outro lado:

x = 6 - 3

x = 3

E assim nós achamos a solução para este sistemaa !!

Gostaram?!

Resposta

x y z = 3 2 1

Exercício Resolvido #3

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

1 2 3 0 1 2 0 0 0   |   0 9 0

Passo 1

Shoow de boola !!!

Nada muito diferente da anterior, mas essa matriz representa equações lineares !!

Cada linha representa uma equação, e cada coluna um companheiro para as letrinhas assim como o resultado:

A terceira linha é toda nula, ou seja, não temos pivô para a variável z, e o que isso nos diz?

Nos diz que z é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( z   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   y em função dela !!

Bom, a nossa matriz já tem os pivôs, então só nos resta transformá-la novamente em equações lineares !!

Lembrando que cada linha é uma equação (2) e a primeira coluna representa o par do x, a segunda de y, a terceira de z e a ultima a igualdade:

1 x + 2 y + 3 z = 0

0 . x + 1 y + 2 z = 9

Na segunda equação nós podemos isolar o y passando o termo 2z para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

0 . x + 1 y + 2 z = 9       ∴       y = 9 - 2 z

Apesar de ser feio o que achamos, é isso mesmo que é o valor de y . Como temos infinitos valores possíveis de z , nosso y e x vão ficar escritos em função do z mesmo, não se assustem.

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 2 y + 3 z = 0         ∴         x + 2 9 - 2 z + 3 z = 0    

O 2 multiplica cada um dos termos que estão dentro dos parêntesis:

x + 18 - 4 z + 3 z = 0       ∴       x + 18 - z = 0

Passando o 18 e z para o outro lado da igualdade com sinal oposto:

x = z - 18

Olha que massa !!

Acabamos de achar a solução:

z - 18 9 - 2 z z   ϵ   R

Então, para cada valor de z diferente, teremos valores diferentes para o x e y também !!

Esse tipo de resposta é bem comum e a gente diz que o sistema linear é possível e indeterminado.

Bora continuar ?!

Resposta

x y z = z - 18 9 - 2 z z   ϵ   R

Exercício Resolvido #4

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares, ache as soluções:

x + y - 2 z = - 2

x - y = 0

2 x + y - 3 z = - 3

Passo 1

Boom galerinha, o escalonamento é algo bem importante, não é?

Isso porque nós podemos escrever sistemas lineares na forma de uma matriz, e ao escalonar nós conseguimos achar a solução do problema de forma mais fácil do que substituindo um no outro, como fazíamos lá no ensino médio !!

Então vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

Só colocamos as equações como matriz certo?

A primeira coluna já tem o seu pivô!! Então vamos zerar a segunda e a terceira linha, certo?

Para fazer isso nós podemos usar a primeira linha e manipular a segunda e terceira juntinho! Vamos pensar aqui em uma operação:

L 2 = L 1 - L 2

L 3 = 2 L 1 - L 3

Agora vamos só fazer as continhas:

1 1 - 2 1 - 1 1 - ( - 1 ) - 2 - 0 2 1 - 2 2 1 - 1 2 - 2 - ( - 3 )   |   - 2 - 2 - 0 2 - 2 - ( - 3 ) = 1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1   |   - 2 - 2 - 1

Para encontrar o pivô da segunda nós precisamos transformar este 2 aí em 1, por isso nós podemos dividir toda essa segunda linha por dois, ok?

L 2 = L 2 2

Então:

1 1 - 2 0 2 2 2 - 2 2 0 1 - 1   |   - 2 - 2 2 - 1 = 1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1   |   - 2 - 1 - 1

E para zerar o termo abaixo desse pivô? O que faremos?

Podemos subtrair a linha 3 de 2, certo?

L 3 = L 3 - L 2

Então:

1 1 - 2 0 1 - 1 0 - 0 1 - 1 - 1 - - 1   |   - 2 - 1 - 1 - - 1 = 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0   |   - 2 - 1 0

Passo 2

A terceira linha é toda nula, ou seja, não temos pivô para a variável z, e o que isso nos diz?

Nos diz que z é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( z   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   y em função dela !!

Bom, a nossa matriz já tem os pivôs, então só nos resta transformá-la novamente em equações lineares !!

Da primeira linha:

1 x + 1 y - 2 z = - 2

0 . x + 1 y - 1 z = - 1

Na segunda coluna nós podemos isolar o y passando o termo z para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

0 . x + 1 y - 1 z = - 1       ∴       y = - 1 + z

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 y - 2 z = - 2         ∴         x - 1 + z - 2 z = - 2

Somando os termos contendo o z:

x - 1 - z = - 2

Os termos 1 e z passam para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = z + 1 - 2

x = z - 1

E assim nós acabamos de achar a solução:

z - 1 z - 1 z   ϵ   R

Então, para cada valor de z diferente, teremos um ponto diferente !!

O que acharam desta?

Resposta

x y z = z - 1 z - 1 z   ϵ   R

Exercício Resolvido #5

Ache a solução para o seguintes sistemas lineares:

x - y = - 3

- x - y = - 1

Passo 1

Vamos seguindo??

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x   e   y , assim como o resultado!!

A primeira coluna já tem o seu pivô!

Então vamos zerar o número -1 logo abaixo, e para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 + L 1

Então:

1 - 1 - 1 + 1 - 1 + - 1   |   - 3 - 1 + - 3 = 1 - 1 0 - 2   |   - 3 - 4

Agora precisamos achar o pivô para a segunda, certo?

E como faremos?

Se dividirmos a linha 2 por -2 dá certinho, não dá? Então boora:

L 2 = - L 2 2

Sendo assim:

1 - 1 - 0 2 - - 2 2   |   - 3 - - 4 2 = 1 - 1 0 1   |   - 3 2

Transformando novamente em equações lineares:

x - y = - 3

y = 2

Substituindo o y na primeira equação:

x - y = - 3             ∴           x - 2 = - 3

Passamos o 2 pra o outro lado igualdade com o sinal oposto:

x = 2 - 3

x = - 1

Olha só !!

Acabamos de achar a nossa solução:

x y = - 1 2

Shoow de bolinhas ?

Resposta

x y = - 1 2

Exercício Resolvido #6

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares, ache as soluções:

2 x + y - 2 z = 10

3 x + 2 y + 2 z = 1

5 x + 4 y + 3 z = 4

Passo 1

Animados para mais uma solução bem legal ?! Entãao boora !!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

Só colocamos as equações como matriz certo?

Para achar o pivô na primeira coluna podemos dividir tudo por 2, certo?

L 1 = L 1 2

Então:

2 2 1 2 - 2 2 3 2 2 5 4 3   |   10 2 1 4 = 1 1 2 - 1 3 2 2 5 4 3   |   5 1 4

Agora precisamos zerar estes números abaixo do nosso pivô na primeira coluna, e aí ? Como faremos?

Que tal usarmos:

L 2 = 3 L 1 - L 2

L 3 = 5 L 1 - L 3

Então:

1 1 2 - 1 3 1 - 3 3 1 2 - 2 3 - 1 - 2 5 1 - 5 5 1 2 - 4 5 - 1 - 3   |   5   3 5 - 1 5 5 - 4 = 1 1 2 - 1 3 1 - 3 3 - 2.2 2 3 - 1 - 2 5 1 - 5 5 - 4.2 2 5 - 1 - 3   |   5   3 5 - 1 5 5 - 4

= 1 1 2 - 1 0 - 1 2 - 5 0 - 3 2 - 8   |   5   14 21

Agora, temos que achar o pivô para a segunda coluna, e para isso podemos transformar -   1 2 em 1 multiplicando tudo da linha 2 por -2:

L 2 = - 2 L 2

Então:

1 1 2 - 1 - 2 ( 0 ) - 2 ( - 1 2 ) - 2 ( - 5 ) 0 - 3 2 - 8   |   5   - 2 ( 14 ) 21 = 1 1 2 - 1 0 1 10 0 - 3 2 - 8   |   5   - 28 21

Para zerar o termo - 3 2 na última linha podemos fazer:

L 3 = L 3 + 3 2 . L 2

Então:

1 1 2 - 1 0 1 10 0 + 3 2   0 - 3 2 + 3 2   1 - 8 + 3 2   10   |   5   - 28 21 + 3 2   - 28

=   1 1 2 - 1 0 1 10 0 + 0 - 3 2 + 3 2   - 8 + 15   |   5   - 28 21 - 42

= 1 1 2 - 1 0 1 10 0 0 7   |   5   - 28 - 21

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la novamente em equações lineares !!

Não se esqueçam que cada linha correspondem a uma equação, cada coluna representa um companheiro para o x, y, z e a igualdade:

1 x + 1 2 y - 1 z = 5

0 . x + 1 y + 10 z = - 28

7 z = - 21

Da terceira equação nós podemos achar o z, basta passar o 7 para o outro lado dividindo:

z = - 21 7             ∴             z = - 3

Na segunda equação nós substituímos o z:

0 . x + 1 y + 10 z = - 28             ∴           y + 10 - 3 = - 28  

y - 30 = - 28

Passando o termo 30 para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

y = 30 - 28

y = 2

Na primeira equação nós podemos substituir o y e o z:

1 x + y 2 - 1 z = 5         ∴         x + 2 2 - 1 - 3 = 5

x + 1 + 3 = 5

x + 4 = 5

O termo 4 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 5 - 4

x = 1

E assim nós finalizamos mais umaa !!

1 2 - 3

Legal, não é?

Resposta

x y z = 1 2 - 3

Exercício Resolvido #7

Ache as soluções para a matriz:

1 0 2 2 0 3   |   5 6

Passo 1

Faaaaaala meus queridos !! Como vocês estão?

Animadíssimos para seguir, eu espero!!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

A primeira coluna já tem o seu pivô!

Então vamos zerar o número 2 logo abaixo, para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 2 L 1

Então:

1 0 2 2 - 2 1 0 - 2 0 3 - 2 2   |   5 6 - 2 5 = 1 0 2 0 0 - 1   |   5 - 4

A segunda coluna só tem zero, então nós não podemos transformá-la em pivô !

Mas a terceira já tem um -1 ali na posição !! Então vamos simplesmente multiplicar a linha toda por -1:

L 2 = - L 2

Então:

1 0 2 - 0 - 0 - ( - 1 )   |   5 - ( - 4 ) = 1 0 2 0 0 1   |   5 4

Na coluna do y nós não temos o pivô, o que isso significa?

Que y é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( y   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   z em função dela !!

Vamos fazer mais uma manipulação para facilitar, zerando o 2 lá na primeira linha:

L 1 = L 1 - 2 L 2

Então:

1 - 2 0 0 - 2 0 2 - 2 1 0 0 1   |   5 - 2 4 4 = 1 0 0 0 0 1   |   - 3 4

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x + 0 y + 0 z = - 3             ∴             x = - 3

0 . x + 0 y + 1 z = 4             ∴             z = 4

E o y nós já sabemos que é livre !!

E assim nós acabamos de achar a solução:

- 3 y   ϵ   R 4

Legal, não é?

Resposta

x y z = - 3 y   ϵ   R 4

Exercício Resolvido #8

Resolva o sistema:

x - y + z = 1

2 x + y + 2 z = 0

3 x - y + z = 1

Passo 1

Mais uma de escalonamento e sistemas lineares para vocês ficarem craques !!

Primeiro vamos transformar as equção em linhas de uma matriz, certo?

Cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

1 - 1 1 2 1 2 3 - 1 1   |   1 0 1

A primeira linha já tem pivô, então vamos zerar o 2 e o 3 abaixo dele:

L 2 = L 2 - 2 L 1

L 3 = L 3 - 3 L 1

Então:

1 - 1 1 2 - 2 1 1 - 2 - 1 2 - 2 1 3 - 3 1 - 1 - 3 - 1 1 - 3 1   |   1 0 - 2 1 1 - 3 1 = 1 - 1 1 0 3 0 0 2 - 2   |   1 - 2 - 2

Para chegar ao pivô na segunda linha vamos dividir a linha 2 por 3, certo?

L 2 = L 2 3

Então:

1 - 1 1 0 3 3 3 0 3 0 2 - 2   |   1 - 2 3 - 2 = 1 - 1 1 0 1 0 0 2 - 2   |   1 - 2 / 3 - 2

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar o 2 abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 3 = L 3 - 2 L 2

Então:

1 - 1 1 0 1 0 0 - 2 0 2 - 2 1 - 2 - 2 0   |   1 - 2 / 3 - 2 - 2 - 2 3 = 1 - 1 1 0 1 0 0 0 - 2   |   1 - 2 / 3 - 2 / 3

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x - 1 y + 1 z = 1

0 x + 1 y + 0 z = - 2 3             ∴                   y = - 2 3

0 x + 0 y - 2 z = - 2 3           ∴         - 2 z = - 2 3

A segunda equação já nos dá o valor de y, certo? E a terceira está quase pronta, basta nós passarmos o -2 para o outro lado dividindo:

z = - 2 3 - 2           ∴           z = 1 3

Agora nós vamos colocar o y e z na primeira equação:

1 x - 1 y + 1 z = 1           ∴           x - - 2 3 + 1 3 = 1          

x + 2 3 + 1 3 = 1

Como o denominador é o mesmo para as duas frações podemos somar os numeradores:

x + 2 + 1 3 = 1

x + 3 3 = 1

x + 1 = 1

Passando o 1 para o outro lado com o sinal oposto:

x = 1 - 1

x = 0

Acabamos de achar a solução:

x y z = 0 - 2 3 1 3

E assim nós chegamos ao fim de mais umaaa !!

Resposta

x y z = 0 - 2 3 1 3

Exercício Resolvido #9

O sistema linear:

- x - 2 y - 2 z = 5

- x - 3 z = 5

x + 4 y + 3 z = - 9

Admite a solução x 0 , y 0 , z 0 . Determine a soma x 0 + y 0 + z 0 .

Passo 1

Animados para mais uma solução bem legal ?! Entãao boora !!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

- 1 - 2 - 2 - 1 0 - 3 1 4 3   |   5 5 - 9

Para chegar ao pivô na primeira linha basta nós multiplicarmos ela por -1, certo?

L 1 = - L 1

Então:

- ( - 1 ) - ( - 2 ) - ( - 2 ) - 1 0 - 3 1 4 3   |   - 5 5 - 9 = 1 2 2 - 1 0 - 3 1 4 3   |   - 5 5 - 9

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar os dois números abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 2 = L 1 + L 2

L 3 = L 1 - L 3

Então:

1 2 2 1 + ( - 1 ) 2 + 0 2 + ( - 3 ) 1 - 1 2 - 4 2 - 3   |   - 5 - 5 + 5 - 5 - ( - 9 ) = 1 2 2 0 2 - 1 0 - 2 - 1   |   - 5 0 4

Para achar o pivô da segunda coluna vamos dividir tudo por 2?

L 2 = L 2 2

Então:

1 2 2 0 2 2 2 - 1 2 0 - 2 - 1   |   - 5 0 2 4 = 1 2 2 0 1 - 1 2 0 - 2 - 1   |   - 5 0 4

E para zerar o termo -2 abaixo do pivô:

L 3 = L 3 + 2 L 2

E agora a matriz vai ficar assim:

1 2 2 0 1 - 1 2 0 + 2 0 - 2 + 2 1 - 1 + 2 - 1 2   |   - 5 0 4 + 2 0 = 1 2 2 0 1 - 1 2 0 0 - 2   |   - 5 0 4

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x + 2 y + 2 z = - 5

0 . x + 1 y - 1 2 z = 0

- 2 z = 4

Para isolar o z nós vamos usar a terceira equação, para isso nós vamos passar o -2 para o outro lado dividindo:

z = 4 - 2           ∴           z = - 2

Agora nós vamos colocar o z na segunda equação:

0 . x + 1 y - 1 2 z = 0           ∴           y - 1 2 - 2 = 0          

y + 1 = 0

Agora o 1 passa para o outro lado com o sinal oposto:

y = - 1

E para achar o x nós colocamos y e z na primeira equação:

1 x + 2 y + 2 z = - 5         ∴           x + 2 - 1 + 2 - 2 = - 5

x - 2 - 4 = - 5

x - 6 = - 5

O termo 6 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 6 - 5

x = 1

Acabamos de achar a solução:

x 0 y 0 z 0 = 1 - 1 - 2

Mas o que queremos de verdade é x 0 + y 0 + z 0 , então se já sabemos todos os valores nós vamos só somar !

x 0 + y 0 + z 0 = 1 - 1 - 2 = - 2

Legal, não é?

Resposta

x 0 + y 0 + z 0 = - 2

Exercício Resolvido #10

Uma loja de discos classificou seus CDS em três tipos A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições: o primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$121,00. O segundo comprou 4 Cds do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$112,00. O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastous R$79,00. O quarto comprou um CD de cada tipo. Calcule quanto o quarto consumidor pagou à loja.

Passo 1

Faaaaaala sério galerinha !! Essa é legal demais !

O problema quer saber quanto o quarto consumidor pagou à loja, se ele comprou 1A, 1B e 1C. Vamos ter que colocar isso aí em forma de soma, não é?

A + B + C =   ?

Para saber a resposta nós vamos precisar achar o valor de cada um deles, e como faremos isso??

Montando um sistema de equações lineares !!

Para o primeiro: comprou 2A, 3B e 1C e pagou 121, então:

2 A + 3 B + C = 121

Para o segundo: comprou 4A e 2B e pagou 112, então:

4 A + 2 B = 112

Para o terceiro: comprou 3A e 1C e pagou 79, então:

3 A + C = 79

Então o nosso sistema linear será composto destas três equações:

2 A + 3 B + C = 121

4 A + 2 B = 112

3 A + C = 79

Passo 2

Com as equações nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do A ,   B   e   C , assim como o resultado!!

2 3 1 4 2 0 3 0 1   |   121 112 79

Para chegar ao pivô na primeira linha basta nós dividirmos ela por 2, certo?

L 1 = L 1 2

Então:

2 2 3 2 1 2 4 2 0 3 0 1   |   121 2 112 79 = 1 1,5 0,5 4 2 0 3 0 1   |   60,5 112 79

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar os dois números abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 4 L 1

L 3 = L 2 - 3 L 1

Então:

1 1,5 0,5 4 - 4 1 2 - 4 1,5 0 - 4 0,5 3 - 3 1 0 - 3 1,5 1 - 3 0,5   |   60,5 112 - 4 60,5 79 - 3 60,5 = 1 1,5 0,5 0 - 4 - 2 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 - 130 - 102,5

Para achar o pivô da segunda coluna vamos multiplicar tudo por -1/4?

L 2 = - L 2 4

Então:

1 1,5 0,5 - 0 4 - - 4 4 - - 2 4 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 - - 130 4 - 102,5 = 1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 32,5 - 102,5

E para zerar o termo -4,5 abaixo do pivô:

L 3 = L 3 + 4,5 L 2

E agora a matriz vai ficar assim:

1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 + 4,5 0 - 4,5 + 4,5 1 - 0,5 + 4,5 0,5   |   60,5 32,5 - 102,5 + 4,5 32,5 = 1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 0 1,75   |   60,5 32,5 43,75

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 3

Agora vamos transformá-la em equações lineares, de noovo !!

1 A + 1,5 B + 0,5 C = 60,5

0 . A + 1 B + 0,5 C = 32,5

1,75 C = 43,75

Para isolar o C nós vamos usar a terceira equação, passando o 1,75 para o outro lado dividindo:

C = 43,75 1,75           ∴           C = 25

Agora nós vamos colocar o C na segunda equação:

0 . A + 1 B + 0,5 C = 32,5           ∴           B + 0,5 25 = 32,5          

B + 12,5 = 32,5

Agora o 12,5 passa para o outro lado com o sinal oposto:

B = 32,5 - 12,5

B = 20

E para achar o A nós colocamos B e C na primeira equação:

1 A + 1,5 B + 0,5 C = 60,5         ∴           A + 1,5 20 + 0,5 25 = 60,5

A + 30 + 12,5 = 60,5

A + 42,5 = 60,5

O termo 42,5 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

A = 60,5 - 42,5

A = 18

Acabamos de achar a solução:

A B C = 18 20 25

Mas nós não queremos saber isso !! Nós queremos saber quanto foi que o quarto comprador pagou, olhando no Passo 1:

A + B + C =   ?

Substituindo:

A + B + C =   18 + 20 + 25

A + B + C = 63

Legal, não é?

Resposta

A + B + C = R $ 63,00