Equações Cartesianas e Paramétricas

Letra

Como temos uma equação, vamos ter que isolar alguma variável, no caso, irei isolar o :

Letra

Para começar devemos resolver o sistema achando as soluções:

Assim a parametrização é:

Letra

Repetindo os mesmos passos da letra :

Ihhh, então só vai dar um ponto?? Não!!!! Não se esqueça do que não apareceu no sistema:

Assim a parametrização é:

Letra

Como nós já temos o vetor e o ponto por onde a reta passa, basta montar a parametrização:

Letra

Como pertencem aos dois planos, basta resolver o sistema com as duas equações cartesianas (ou seja, vamos achar a interseção dos dois planos):

E assim a equação paramétrica é:

Letra

Como temos os pontos, basta definirmos os vetores diretores, com uma origem para os mesmos vetores:

Assim nossa parametrização será:

Letra

Como já temos os vetores e o ponto, basta montar a parametrização:

Letra

Podemos ver que a parametrização da reta é:

Sendo assim, vemos que é uma reta deslocada da origem. Como ela já tem um vetor diretor, para formar um plano basta achar o segundo. Podemos interpretar o problema agora como um plano que passa pelos pontos e paralelo ao vetor :

Sendo assim, vamos achar o segundo vetor diretor:

Assim nossa parametrização fica:

Letra

Bom, o sistema já está montado em todas as letras, então só precisamos isolar os parâmetros.

A equação cartesiana é

Letra

A equação cartesiana é

Em todas as letras só é necessário isolar os parâmetros e resolver o sistema, logo vamos fazer isso.

Letra

As equações cartesianas são:

Letra

Como não conseguimos substituir o parâmetro , pode assumir qualquer valor e, portanto as equações cartesianas são:

Letra a)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

Assim, a equação cartesiana é:

Letra b)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

Como não conseguimos substituir e nem , e podem assumir quaisquer valores e, portanto, a equação cartesiana é:

Letra c)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

Assim, a equação cartesiana é:

Letra d)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

Como não conseguimos substituir , pode assumir qualquer valor e, portanto, a equação cartesiana é:

Bora analisar as afirmativas:

I – Verdadeira. Lembra que a gente viu que quando tem apenas um vetor com parâmetro (no caso, ) é porque se trata de uma reta? :D

II – Vamos tomar cuidado com esse caso. A gente tem 2 vetores parametrizados, beleza, vimos que isso se trata de um plano então. Opa! Mas os 2 vetores são múltiplos, repara que o segundo vetor é 3 vezes o primeiro. Então poderíamos escrever esse espaço assim

Ou seja, se trata de apenas um vetor hehe então é uma reta e a afirmativa é falsa!

III – Vamos parametrizar essa reta. O já está isolado, então vamos igualar a um vetor genérico:

Trocando por :

Obaa, então a afirmativa está certa :D

Então a alternativa correta é a letra E ;)

Antes de ver se um ponto pertence a uma reta, temos que achar o ponto genérico dessa reta, pra isso, primeiro vamos multiplicar o vetor parametrizado por :

Agora é só somar:

Ok, tendo o ponto genérico, vamos igualar a e ver se existe um que satisfaça nossa condição:

Igualando as coordenadas:

Isolando na equação :

Agora, isolando na equação

Opa, em cada equação obtivemos um valor diferente para o parâmetro , isso significa que não existe um que faça a reta passar por , e logo, esse ponto não pertence à reta :/

Antes de tudo, vamos parametrizar a reta beleza?

Somando as duas equações:

Humm, vamos isolar o pode ser? Mas se você quiser pode isolar o ou o também hehe

Da segunda equação, temos que , vamos substituir isso na equação acima:

Beleza, agora chegou a hora de igualar a um vetor genérico. Temos que

(repare que escrevemos e em função de para igualarmos. Isso significa que será o nosso parâmetro).

Separando os em um vetor e os números em outro:

Agora vamos tirar o pra fora:

Transformando em um parâmetro , como pede o enunciado:

Aeee, parametrizamos nossa reta :D Agora vamos pros próximos passos!

a) Queremos saber em qual valor do parâmetro a nossa reta vai passar pelo ponto certo? Primeiro, vamos achar um ponto genérico da nossa reta, pra isso, temos que primeiro multiplicar o vetor parametrizado pelo parâmetro, assim:

Agora, vamos somar tudo. Assim, um ponto genérico da nossa reta (ou seja, qualquer ponto dela pode ser escrito assim para diferentes valores de ) é:

Agora bora igualar esse ponto genérico ao ponto que queremos:

Igualando cada coordenada, temos:

Em , temos que . Mas precisamos substituir isso em e também para termos certeza que esse ponto existe na reta:

Boaaa, procede pras duas equações, logo, realmente com temos o ponto desejado :D

b) Aqui, o esquema é o mesmo do passo anterior, vamos igualar o ponto genérico à origem, ou seja, :

Igualando as primeiras coordenadas, temos que .

Mas se igualarmos as segundas e as terceiras coordenadas e então substituirmos , teremos

Poxa, então a origem não pertence à reta, pois não existe um tal que o ponto genérico da reta se iguale a :/

Vamos parametrizar esse plano.

Isolando o (já que o enunciado fala que e serão nossos parâmetros)

Agora vamos igualar a :

(repara que como se trata de um plano, temos 2 parâmetros: e )

Separando , e os números:

Tirando os parâmetros pra fora:

Agora vamos transformar em parâmetros: e

E temos nossa equação parametrizada :)

Beleza, agora queremos encontrar o e o que fazem o plano passar pelo ponto . Antes, vamos encontrar um ponto genérico do plano:

Boa, agora é só igualar com o ponto desejado:

Igualando as coordenadas:

Das equações e já temos os valores de e , agora vamos substituí-los na equação e ver se procede para todas as coordenadas:

Aeee, isso significa que o ponto realmente pertence a esse plano e que o plano passa por ele quando e ;)