Inequações com TVM
Teoria
Sabia que também dá para usar o TVM para demonstrar inequações? Existem dois tipos de problemas com inequações e que podem ser resolvidos usando TVM. O primeiro é aquele que envolve somente números, como:
E aqueles que envolvem incógnitas como :
Como somos pessoas bacanas e sensatas, vamos começar pela mais fácil, que é justamente a inequação que envolve apenas números, ou seja, .
Quando temos problemas assim, devemos tentar construir a fórmula de TVM na inequação. Neste caso, começamos jogando tudo para o mesmo lado:
Agora, a gente tem que achar alguma função que seja igual a cada um dos termos para determinado valor. Ham? Precisamos achar uma função que tenha e tal que:
Para que a gente comece a construir a fórmula do TVM a partir disso. Lembrando que a fórmula do TVM é
Se escolhêssemos:
Temos que no ponto :
Que satisfaz o primeiro termo. Agora, como satisfazer o segundo? Precisamos de um valor que altere a base de para . Temos uma propriedade dos logaritmos que diz que:
O seja, quando um número qualquer está elevado a um logaritmo de base também , o logaritmo se cancela com a base e sobra somente o argumento do logaritmo.
Podemos usar essa ideia para mudar a base, considerando:
Pois, assim:
Assim, podemos escrever:
Se a gente chama e , então temos o numerador da fórmula do TVM:
Agora, é só dividir por e teremos a fórmula em si:
Tá, beleza. Temos que agora a fórmula do TVM aplicada é menor que zero, mas e daí? Agora, gafanhoto, temos que lembrar que a fórmula do TVM diz que existe pertencente a um intervalo tal que:
Para este caso, existirá pertencente a um intervalo , que foram os valores de determinados, tal que:
Podemos substituir isso na inequação e teremos que:
Ou seja, para provar a inequação, só precisamos provar que . Então vamos calcular a partir função que obtemos:
No ponto :
Como a função exponencial é sempre positiva, e provamos que a inequação é verdadeira.
Agora lembra de quando eu falei que quando temos incógnitas, o problema é mais difícil? Pois bem, eu menti!
A verdade é que a história não muda muito não. Começamos jogando tudo para o mesmo lado, como antes:
Precisamos tirar a fórmula do TVM disso aí. A diferença é que, consideramos o termo x como um número maior que zero:
Novamente, teremos que tentar transformar isso na fórmula de TVM. Para tal devemos encontrar e tal que e tal que . No mais, nada muda em relação ao que nós já vimos. Aqui vamos ter igual ao exemplo anterior,
Agora
E o raciocínio vai ficar todo igual, o TVM fica
De novo, temos
Que é sempre maior que . Beleza, mostramos a mesma coisa.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 286-58.
Demonstre que para quaisquer números e a desigualdade é verdadeira.
Passo 1
A primeira coisa a fazer é tentar deixar a inequação com o formato da fórmula do TVM. Para isso, dividimos tudo por :
Podemos usar uma linda propriedade dos módulos que diz:
Assim:
Legal, como o módulo é sempre positivo, então a fração em si será limitada por:
E, pelo TVM, existirá tal que:
Assim, substituindo:
Assim, para provar a desigualdade, só precisamos mostrar que é sempre maior ou igual a e menor ou igual a .
Passo 2
Mas qual é será ? Comparando a fórmula que a gente achou com a fórmula geral do TVM:
Temos que:
Assim, derivando e substituindo :
Sendo que o cosseno tem valores sempre entre e , então, para qualquer :
O que demonstra a inequação.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Mostre que:
(Dica: Utilize o Teorema do Valor Médio)
Passo 1
Temos que tentar chegar ao TVM a partir disso aí. Um bom começo é jogar tudo para o mesmo lado:
Agora devemos substituir por um que é uma constante maior que :
Analisando essa inequação, temos que se:
Então:
E:
Assim, substituindo:
Para chegar na fórmula do TVM para o intervalo (0,), é só dividir tudo por :
O TVM também nos diz que existirá pertencente ao intervalo (0,) tal que:
Assim, para demonstrar a desigualdade, só precisamos mostrar que:
Passo 2
Calculando a derivada da função, obtemos:
Portanto, segue que:
Passo 3
Assim, substituindo
Então segue que:
Como tem que estar entre e , o seu valor sempre será maior que zero. Olhando para inequação, vemos que 1 dividido por um valor maior que 1, , é sempre menor que 1, então a inequação acima é verdadeira e demonstramos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)