Aproximação Linear

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de :

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que , a nossa aproximação linear vai ficar:

E essa é nossa aproximação linear. =D

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com , a nossa função é , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

Então vamos ter:

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, , a nossa função é , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

Então vamos ter

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto precisamos do valor de , para o qual precisamos da fórmula implícita de . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

Eis o nosso em função de e de .

A aproximação linear terá o formato:

O ponto é o valor fornecido na questão:

E será o valor da implícita nesse ponto:

Agora é substituir os valores:

Que será nossa aproximação linear!

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima , e essa vai ser nossa função:

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer , primeiro precisamos da derivada de

A aproximação linear vai ser:

Trocando os valores de e vamos ter:

Arrumando isso:

Vamos comparar isso com a equação que ele deu ali em cima:

Isso nos diz que:

E:

Pela primeira equação vamos ter:

Vamos substituir isso na segunda expressão:

Assim, como pode ser qualquer valor:

E temos o nosso ponto de referência, e a aproximação linear foi como ele queria.

Vamos agora fazer a aproximação do valor que ele pediu, . Vamos ter, neste caso, . Além disso devemos achar qual valor de vamos usar na função, então vamos fazer

Assim:

A nossa aproximação linear vai ficar:

Opa, temos um exercício um pouco diferente aqui. Ele nos deu a aproximação linear e quer o ponto de referência. Vamos fazer a aproximação linear para um ponto qualquer e vamos comparar com essa aproximação que ele deu.

Para fazermos a aproximação linear precisamos da função , da sua derivada e do ponto de referência .

Primeiro vamos achar a derivada dessa parada

Assim nossa aproximação linear vai ser:

Trocando os valores de e temos:

Arrumando isso temos:

Vamos agora comparar isso que achamos com o que ele deu:

Para isso ser sempre igual devemos ter:

A segunda equação é impossível de resolver na mão, então vamos nos preocupar em resolver a primeira, e depois só verificar com a segunda.

Temos:

Lembra da relação entre secante e tangente?

Assim vamos ter, na nossa equação:

Colocando em evidência, vamos ter:

Assim vamos ter duas equações:

E:

Onde e são inteiros.

Resolvendo essas equações logarítmicas:

Achamos os possíveis valores de pela primeira equação, a parada agora é substituir esses valores na segunda equação e ver quais deles que servem para nós.

Substituindo o primeiro valor de , :

Nessa situação a secante de algum múltiplo inteiro de pode ser ou , mas como a secante está ao quadrado:

Assim temos:

E achamos um dos possíveis pontos de referência:

Para outra solução de , qual o valor de que serve nessa parada?

Substituindo o segundo valor de , , vamos ter:

Observa que

Além disso,

Portanto,

Só pode assumir dois valores ou . Como no nosso exercício ela está elevada ao quadrado, não faz diferença, vamos ter que

Assim, temos que

Queremos os valores de , então vou aplicar dos dois lados, vem comigo

Portanto, nosso outro ponto de referência será

Bem, aqui ele quer que calcule aquele valor:

Mas ele não diz qual a função que vamos usar, só diz o ponto que temos que usar. Neste caso podemos usar qualquer função que acharmos melhor. Vamos sempre tentar olhar a mais fácil possível.

Repara que ele quer elevado a algo, assim isso nos dá a dica de usarmos:

Até porque essa função no ponto de referência que ele deu é tranquila de calcular. Vamos ver se a derivada também é de boa:

Opa, também é tranquilo de calcular. Então vamos usar essa função mesmo.

Agora que escolhemos a função, agora vamos fazer a aproximação linear

Trocando o valor de , e vamos ter:

Agora que temos a nossa aproximação linear, vamos achar o valor que ele pediu. A primeira coisa é ver qual o valor de , nesse caso mesmo.

Nessas questões que nós vamos escolher a função, vamos tentar evitar coisas muito loucas e usar o mais simples para não se embolar depois.

Temos:

Agora que temos esse valor de , para acharmos basta elevar esse número a , então: