Teoria
Definição, Equação e Conceitos
Fala, galerinha do bem! Neste tópico, vamos bater um papo sobre cilindros! Mas antes, vamos lembrar da equação da circunferência? Afinal, a base de um cilindro é um círculo né!
Então, quando eu tenho um círculo de raio , por exemplo, eu tenho essa equação,
E o gráfico fica assim,
Agora se eu quiser transformar esse gráfico em um gráfico em , com compentes em , tranformando-o em um cílindro. Como ficaria a minha equação? Como seria o gráfico?
Então, galerinha, quando tiver fazendo essa transformação, eu estarei “empilhando” as circunferências no meu eixo . Com isso, eu posso manter minha equação no plano e dizer que ela se matém ao longo de todo eixo . Então fica assim:
Agora vamos ver seu esboço:
Deste modo, podemos definir um cilindro como sendo uma superfície cuja uma de suas variáveis é livre ou irrestrita (ou seja, temos uma variável que não está restrita por nenhuma equação) .
No cilindro acima, a variável é irrestrita, mas também podemos ter as variáveis ou livres. Neste casos veríamos o cilindro “deitado”.
Repara que para saber qual é a variável irrestrita, basta olhar a que não aparece na equação.
Alguns nomes são importantes pra você não ser surpreendido na hora da prova :
- A curva é chamada de diretriz do cilindro . A curva diretriz do cilindro pode ser qualquer curva ou função envolvendo duas variáveis. Ela tem esse nome porque é ela quem define a cara que o cilindro vai ter.
- O eixo do cilindro será o eixo que contém a variável irrestrita.
Sabemos que é a circunferência de raio 1. Se cortarmos o cilindro em seções ortogonais ao eixo z, todas elas serão também circunferências de raio 1.
Observação: Quando falamos em cilindro, na verdade estamos falando em superfície cilíndrica, ou seja a casca cilíndrica. Tá, mas o que isso quer dizer exatamente? Observe novamente o gráfico do cilindro que utilizamos como exemplo inicial. Perceba que o cilindro não compreende o interior da superfície. Ou seja, ele não é maciço, é oco. As interseções com planos ortogonais ao eixo são circunferências e não círculos. Ficou claro agora??
Esboço de Cilindros
Tá, galerinha, até aqui vocês já conheceram a equação e o gráfico, mas agora eu quero te fazer outra pergunta: como fazemos o esboço do cilindro?
Para fazermos o esboço de cilindros, precisamos saber apenas qual a curva diretriz do cilindro e o eixo do cilindro.
Voltemos ao exemplo inicial:
Como vimos, a curva diretriz é e o eixo do cilindro é o eixo .
Agora vamos de um passo a passo!
Passo 1: Esboçar a curva diretriz
Começamos esboçando a curva diretriz no plano
Ela é uma circunferência com centro e raio . Temos:
É o mesmo desenho que fiz la no início, mas com outra persectiva.
Passo 2: Empilhar nossos círculos no eixo
Vamos fazer a mesma circunferência mais duas vezes: uma acima e outra abaixo do plano
Passo 3: Ligar as circunferências
Fica assim:
Só um pouquinho de formalismo, pois você ler em algum lugar: essas linhas adcionadas ao longo do eixo do cilindro são chamadas de geratriz do cilindro.
Passo 4: Hachurar a figura.
Agora, é so hachurar a superfície!!! Pronto, tá aí o nosso cilindro!!!
ATENÇÃO! Nem todo cilindro é uma superfície fechada.
Considere o cilindro de equação:
Seu gráfico é:
Como você percebeu, os cilindros podem ser aberto! Além disso, a diretriz nem sempre é um círculo, nesse caso foi uma parábola! Só para fechar vou te mostrar outros cilindros
Agora bora pros exercícios!