Teoria

Definição, Equação e Conceitos

Fala, galerinha do bem! Neste tópico, vamos bater um papo sobre cilindros! Mas antes, vamos lembrar da equação da circunferência? Afinal, a base de um cilindro é um círculo né!

Então, quando eu tenho um círculo de raio 1 , por exemplo, eu tenho essa equação,

x 2 +   y 2 =   1

E o gráfico fica assim,

Agora se eu quiser transformar esse gráfico em um gráfico em 3   d i m e n s õ e s , com compentes em x , y , z , tranformando-o em um cílindro. Como ficaria a minha equação? Como seria o gráfico?

Então, galerinha, quando tiver fazendo essa transformação, eu estarei “empilhando” as circunferências no meu eixo z . Com isso, eu posso manter minha equação no plano x y e dizer que ela se matém ao longo de todo eixo z . Então fica assim:

x 2 + y 2 = 1 ,   c o m   z   i r r e s t r i t o

Agora vamos ver seu esboço:

Deste modo, podemos definir um cilindro como sendo uma superfície cuja uma de suas variáveis é livre ou irrestrita (ou seja, temos uma variável que não está restrita por nenhuma equação) .

No cilindro acima, a variável z   é irrestrita, mas também podemos ter as variáveis x ou y livres. Neste casos veríamos o cilindro “deitado”.

Repara que para saber qual é a variável irrestrita, basta olhar a que não aparece na equação.

Alguns nomes são importantes pra você não ser surpreendido na hora da prova :

  • A curva x 2 + y 2 = 1 é chamada de diretriz do cilindro . A curva diretriz do cilindro pode ser qualquer curva ou função envolvendo duas variáveis. Ela tem esse nome porque é ela quem define a cara que o cilindro vai ter.
  • Sabemos que x 2 + y 2 = 1   é a circunferência de raio 1. Se cortarmos o cilindro em seções ortogonais ao eixo z, todas elas serão também circunferências de raio 1.

  • O eixo do cilindro será o eixo que contém a variável irrestrita.

Observação: Quando falamos em cilindro, na verdade estamos falando em superfície cilíndrica, ou seja a casca cilíndrica. Tá, mas o que isso quer dizer exatamente? Observe novamente o gráfico do cilindro que utilizamos como exemplo inicial. Perceba que o cilindro não compreende o interior da superfície. Ou seja, ele não é maciço, é oco. As interseções com planos ortogonais ao eixo z são circunferências e não círculos. Ficou claro agora??

Esboço de Cilindros

Tá, galerinha, até aqui vocês já conheceram a equação e o gráfico, mas agora eu quero te fazer outra pergunta: como fazemos o esboço do cilindro?

Para fazermos o esboço de cilindros, precisamos saber apenas qual a curva diretriz do cilindro e o eixo do cilindro.

Voltemos ao exemplo inicial:

x 2 + y 2 = 1 ,   c o m   z   i r r e s t r i t o

Como vimos, a curva diretriz é x 2 + y 2 = 1 e o eixo do cilindro é o eixo z .

Agora vamos de um passo a passo!

Passo 1: Esboçar a curva diretriz

Começamos esboçando a curva diretriz no plano x y

Ela é uma circunferência com centro ( 0 , 0,0 ) e raio 1 . Temos:

É o mesmo desenho que fiz la no início, mas com outra persectiva.

Passo 2: Empilhar nossos círculos no eixo   z

Vamos fazer a mesma circunferência mais duas vezes: uma acima e outra abaixo do plano x y .

Passo 3: Ligar as circunferências

Fica assim:

Só um pouquinho de formalismo, pois você ler em algum lugar: essas linhas adcionadas ao longo do eixo do cilindro são chamadas de geratriz do cilindro.

Passo 4: Hachurar a figura.

Agora, é so hachurar a superfície!!! Pronto, tá aí o nosso cilindro!!!

ATENÇÃO! Nem todo cilindro é uma superfície fechada.

Considere o cilindro de equação:

y = x 2

Seu gráfico é:

Como você percebeu, os cilindros podem ser aberto! Além disso, a diretriz nem sempre é um círculo, nesse caso foi uma parábola! Só para fechar vou te mostrar outros cilindros

Agora bora pros exercícios!

Esboço de Cilindros

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