Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Equações:
Fala, rapaziada! Hoje vamos tratar de superfícies quádricas. Dividimos elas em dois grupos para gente poder estuda-las com calma e deixar tudo bem explicadinho pra você.
O grupo que vamos estudar agora, tem a seguinte forma:
Calma que eu já explico!
Elipsoide
Quando os 3 sinais forem positivos . A fórmula geral do Elipsoide com centro em é :
Caso o Elipsoide tenha centro em a equação fica:
O gráfico do Elipsoide tem a forma:
Observação: Para o caso de temos uma esfera de raio
Hiperbolóide de uma folha:
Quando temos 2 sinais positivos e 1 é negativo. As equações do Hiperbolóide de uma folha são:
Seus gráficos são respectivamente:
Perceba que eixo do Hiperbolóide de uma folha encontra-se ao longo do eixo da variável com sinal negativo.
Hiperbolóide de duas folhas:
Quando apenas 1 sinal é positivo e 2 sinais são negativos. As equações do Hiperbolóide de duas folhas são:
Seus gráficos são respectivamente:
Perceba que o eixo do hipérbolóide de duas folhas ocorre ao longo do eixo da variável com sinal positivo.
Exemplo:
Identifique a quádrica a seguir:
Qual dos seguintes gráficos mais se assemelha a ela?
Resolução:
Que parada bizarra é essa ???
Calma, acredite em mim, isso é uma quádrica. Vou provar pra você.
Primeiramente, observe que todas as variáveis elevadas ao quadrado tem coeficientes positivos. Isso nos indica possivelmente um Elipsoide.
Para provar que é um elipsoide ,vamos ver se conseguimos colocar essa equação na forma:
Primeiramente vamos olhar para:
Vamos tentar ajeitá-lo, para que ele fique da forma de um quadrado perfeito
Opa! O numerador nos faz lembrar . Mas não tem esse no numerador. Podemos fazer o seguinte:
Sacou? Eu somei e subtraí do numerador, para que aparecesse o quadrado perfeito.
Observação: Perceba que , no caso acima:
Vamos fazer a mesma análise para o termo :
Esse termo nos lembra:
Ajeitando temos:
Portanto, a equação fica:
Que é exatamente a equação do elipsoide!!! Letra A!!!!!!
Obtendo gráficos
Agora que já vimos as equações e a “cara” do gráfico das superfícies quádricas, vamos mostrar porque elas são assim e esboçar seus gráficos passo a passo.
Vou te mostrar o passo a passo com esse exemplo aqui
Sabemos que isso é uma elipsoide. Ele vai ter mais ou menos a cara:
Vamos começar esboçando seus traços, ou seja, a interseção do Elipsóide com os planos coordenados.
Traços:
- Traço no plano
- Traço no plano :
- Traço no plano :
- Plano
- Plano
- Plano
É uma elipse com centro em e semi-eixos 2 e 3. O traço fica:
É uma elipse com centro em e semi-eixos 2 e 4. O traço fica:
É uma elipse com centro em e semi-eixos 3 e 4. O traço fica:
Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.
Interseções:
São elipses para
Observação: Para ou repare que , logo não existe e que satisfaçam: , pois a soma de dois números elevados ao quadrado não pode ser menor do que zero. Por isso, não há interseção ou
São elipses para
São elipses para
Agora no seu gráfico plote os traços que achamos
Agora é só achurar aregião delimitada pelos traços
Esse raciocínio é o que você precisa saber para esboçar qualquer superfície. Eu fiz um exemplo para te mostrar o jeitão desses exercícios. Agora é com você! Vai lá nos exercícios praticar um pouco.