Teoria

Um plano é um objeto geométrico de duas dimensões. Mas.. você sabe como achar a equação de um plano?

Como Calcular a Equação de um Plano

Um plano é tipo uma folha de papel infinita suspensa no espaço, ele tem essa carinha aqui:

Plano
Plano

Para um plano ser definido no espaço, precisamos apenas de duas informações, que são super importantes: um ponto que pertença ao plano e um vetor normal ao plano, que serve para a gente definir a sua direção.

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Equação do Plano

Mas agora vamos ao que interessa! A equação de um plano com um vetor normal , um ponto é dada por:

Vamos ver um exemplo! Imagine um vetor normal ao plano , um ponto , e um ponto qualquer no plano . Assim:

Exemplo: Como achar a equação de um plano
Exemplo: Como achar a equação de um plano

O vetor está contido no plano e tem componentes . O vetor é normal ao plano e, portanto, ortogonal a qualquer vetor contido no plano. Logo o vetor é ortogonal ao vetor .


O produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero. Então o produto escalar entre o vetor e o vetor é zero!!! Logo o produto escalar fica assim:

Confira esse conteúdo em vídeo:

Equações Paramétricas do Plano

A equação paramétrica de um plano pode ser calculada a partir das seguintes equações:

Equações Paramétricas do Plano
Equações Paramétricas do Plano

Onde e são os parâmetros da equação.

Gráfico do Plano

Já sabemos encontrar a equação do plano. Show! Mas e se pedirem o gráfico do plano?! Vamos ver agora um passo a passo de como fazer isso.

Para isso vamos considerar o plano

Passo 1: Traços

A primeira coisas que vamos fazer é os traços do plano dado. O traço de um plano, ou qualquer outra superfície, são as curvas de interseção entre o plano e os planos coordenados , e . Vamos começar achando o traço para o plano , para isso fazemos:

Essa reta intercepta o eixo no ponto e intercepta o eixo no ponto .Portanto, o traço no plano fica:

Traço no plano xy.
Traço no plano xy.

Agora fazemos o mesmo para os planos e , chegamos em:

Traços no plano yz e xz.
Traços no plano yz e xz.

Passo 2: Marcar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

O próximo passo é marcar nos 3 eixos coordenados os pontos que achamos nos traços acima. Os pontos são: (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Fica:

interseção do plano com os eixos coordenados
interseção do plano com os eixos coordenados

Passo 3: Traçar um paralelograma e hachura-lo

Agora traçamos um paralelogramo passando sobre os pontos e hachura esse paralelogramo. Repare que ele é inclinado para a esquerda, devido ao traço no plano ser uma reta também inclinada para a esquerda. Então o esboço do plano fica assim:

Esboço do plano
Esboço do plano

Agora vamos praticar com exercícios?

Gráfico do Plano

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