Limite e Continuidade
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Calculando o limite
Imagine que temos a seguinte curva:
E queremos calcular o limite:
Como a gente faz isso? Na prática, pra encontrar esse vetor , a gente vai fazer o que você já sabe: vai calcular o limite de cada coordenada, que a gente chama de componente, como uma função de uma variável. Veja:
Generalizando, vamos ter:
Tudo tranquilo?
Propriedades dos limites
Sejam e funções com componentes e uma função de uma variável, tais que e e , então:
Ah, e só pra deixar tudo bem esclarecido pra você:
- significa norma (tamanho) do vetor
- significa produto escalar entre os vetores e
- significa produto vetorial entre os vetores e .
Vou te dar um exemplo agora rapidinho só pra você ver como é bem tranquilo. Vimos que:
Então:
Continuidade
Agora que você já aprendeu sobre limites das funções que definem uma curva, vamos falar sobre continuidade dessas funções, mas relaxa que não tem nada demais.
A ideia é parecida para o que tínhamos sobre função de uma variável.
Uma função de uma variável é contínua num ponto se esse ponto pertence ao seu domínio, ou seja, se a função está definida nesse ponto e se
Para as funções que definem a curva, temos a mesma definição:
A função é contínua num ponto , se:
.
Como o limite da função é dado pelos limites de suas componentes e , a continuidade de vai depender da continuidade de suas componentes e .
Assim, temos que a função é contínua em se, e somente se, cada uma de suas componentes for contínua nesse ponto.
Por exemplo:
A função abaixo
Será que é contínua? Vamos começar achando o limite em
Tanto para cosseno quanto para podemos só substituir
Repara que isso é o valor da função em ,
A função é contínua em todos os pontos.
Acompanhou a ideia?
Então vou enunciar aqui pra você algumas propriedades de continuidade.
Propriedades de continuidade para funções vetoriais
Sejam e funções contínuas, então:
- também é contínua
- também é contínua
- também é contínua
- também é contínua
Agora, mãos à obra!