Teoria

Calculando o limite

Imagine que temos a seguinte curva:

σ t = t + 1 , t 2

E queremos calcular o limite:

lim t → 1 ⁡ σ t = lim t → 1 ⁡ t + 1 , t 2 = L

Como a gente faz isso? Na prática, pra encontrar esse vetor L , a gente vai fazer o que você já sabe: vai calcular o limite de cada coordenada, que a gente chama de componente, como uma função de uma variável. Veja:

lim t → 1 ⁡ t + 1 , t 2 = lim t → 1 ⁡ t + 1 , lim t → 1 ⁡ t 2 = 2,1 ⁡

Generalizando, vamos ter:

σ t = x t , y t

lim t → t 0 ⁡ σ t = lim t → t 0 ⁡ x ( t ) , y ( t ) = lim t → t 0 ⁡ x ( t ) , lim t → t 0 ⁡ y ( t ) = L 1 ,   L 2 = L ⁡

Tudo tranquilo?

Propriedades dos limites

Sejam σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) funções com componentes e f t uma função de uma variável, tais que lim t → t o ⁡ σ 1 t = L e lim t → t o ⁡ σ 2 t = M e lim t → t 0 ⁡ f t = N , então:

  1. lim t → t o ⁡ σ 1 t + σ 2 t = L + M  
  2. lim t → t o ⁡ σ 1 t - σ 2 t = L - M
  3. lim t → t o ⁡ σ 1 t = L
  4. lim t → t o ⁡ f ( t ) σ 1 ( t ) = N . L
  5. lim t → t o ⁡ σ 1 t ∙ σ 2 ( t ) = L ∙ M
  6. lim t → t o ⁡ σ 1 t × σ 2 ( t ) = L × M

Ah, e só pra deixar tudo bem esclarecido pra você:

  • L significa norma (tamanho) do vetor L
  • L ∙ M significa produto escalar entre os vetores L e M
  • L × M significa produto vetorial entre os vetores L e M .

Vou te dar um exemplo agora rapidinho só pra você ver como é bem tranquilo. Vimos que:

σ t = t + 1 , t 2

lim t → 1 ⁡ σ t = 2,1

Então:

lim t → t o ⁡ σ 1 t = 2 2 + 1 2 = 5  

Continuidade

Agora que você já aprendeu sobre limites das funções que definem uma curva, vamos falar sobre continuidade dessas funções, mas relaxa que não tem nada demais.

A ideia é parecida para o que tínhamos sobre função de uma variável.

Uma função de uma variável f ( x ) é contínua num ponto x 0 se esse ponto pertence ao seu domínio, ou seja, se a função está definida nesse ponto e se

lim x → x o ⁡ f ( x ) =   f x 0

Para as funções que definem a curva, temos a mesma definição:

A função σ t é contínua num ponto t 0 , se:

lim t → t o ⁡ σ ( t ) =   σ ( t 0 ) .

Como o limite da função σ t = ( x ( t ) , y ( t ) ) é dado pelos limites de suas componentes x ( t ) e y ( t ) , a continuidade de σ t vai depender da continuidade de suas componentes x ( t ) e y ( t ) .

Assim, temos que a função σ t = ( x ( t ) , y ( t ) ) é contínua em t 0 se, e somente se, cada uma de suas componentes for contínua nesse ponto.

Por exemplo:

A função abaixo

σ t = cos ⁡ t 3 ,   t

Será que é contínua? Vamos começar achando o limite em t = a

lim t → a ⁡ σ ( t ) = lim t → a ⁡ cos ⁡ t 3 ,   t

Tanto para cosseno quanto para t podemos só substituir

lim t → a ⁡ cos ⁡ t 3 ,   t = cos ⁡ a 3 ,   a

Repara que isso é o valor da função em t = a ,

A função σ t é contínua em todos os pontos.

Acompanhou a ideia?

Então vou enunciar aqui pra você algumas propriedades de continuidade.

Propriedades de continuidade para funções vetoriais

Sejam σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) funções contínuas, então:

  1. σ 1 t + σ 2 t também é contínua
  2. σ 1 t - σ 2 t também é contínua
  3. σ 1 t ∙ σ 2 t também é contínua
  4. σ 1 t × σ 2 t também é contínua

Agora, mãos à obra!

Propriedades dos limites

Continuidade

Propriedades de continuidade para funções vetoriais