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Limite e Continuidade

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Teoria

Calculando o limite

Imagine que temos a seguinte curva:

σ t = t + 1 , t 2

E queremos calcular o limite:

lim t → 1 ⁡ σ t = lim t → 1 ⁡ t + 1 , t 2 = L

Como a gente faz isso? Na prática, pra encontrar esse vetor L , a gente vai fazer o que você já sabe: vai calcular o limite de cada coordenada, que a gente chama de componente, como uma função de uma variável. Veja:

lim t → 1 ⁡ t + 1 , t 2 = lim t → 1 ⁡ t + 1 , lim t → 1 ⁡ t 2 = 2,1 ⁡

Generalizando, vamos ter:

σ t = x t , y t

lim t → t 0 ⁡ σ t = lim t → t 0 ⁡ x ( t ) , y ( t ) = lim t → t 0 ⁡ x ( t ) , lim t → t 0 ⁡ y ( t ) = L 1 ,   L 2 = L ⁡

Tudo tranquilo?

Propriedades dos limites

Sejam σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) funções com componentes e f t uma função de uma variável, tais que lim t → t o ⁡ σ 1 t = L e lim t → t o ⁡ σ 2 t = M e lim t → t 0 ⁡ f t = N , então:

  1. lim t → t o ⁡ σ 1 t + σ 2 t = L + M  
  2. lim t → t o ⁡ σ 1 t - σ 2 t = L - M
  3. lim t → t o ⁡ σ 1 t = L
  4. lim t → t o ⁡ f ( t ) σ 1 ( t ) = N . L
  5. lim t → t o ⁡ σ 1 t ∙ σ 2 ( t ) = L ∙ M
  6. lim t → t o ⁡ σ 1 t × σ 2 ( t ) = L × M

Ah, e só pra deixar tudo bem esclarecido pra você:

  • L significa norma (tamanho) do vetor L
  • L ∙ M significa produto escalar entre os vetores L e M
  • L × M significa produto vetorial entre os vetores L e M .

Vou te dar um exemplo agora rapidinho só pra você ver como é bem tranquilo. Vimos que:

σ t = t + 1 , t 2

lim t → 1 ⁡ σ t = 2,1

Então:

lim t → t o ⁡ σ 1 t = 2 2 + 1 2 = 5  

Continuidade

Agora que você já aprendeu sobre limites das funções que definem uma curva, vamos falar sobre continuidade dessas funções, mas relaxa que não tem nada demais.

A ideia é parecida para o que tínhamos sobre função de uma variável.

Uma função de uma variável f ( x ) é contínua num ponto x 0 se esse ponto pertence ao seu domínio, ou seja, se a função está definida nesse ponto e se

lim x → x o ⁡ f ( x ) =   f x 0

Para as funções que definem a curva, temos a mesma definição:

A função σ t é contínua num ponto t 0 , se:

lim t → t o ⁡ σ ( t ) =   σ ( t 0 ) .

Como o limite da função σ t = ( x ( t ) , y ( t ) ) é dado pelos limites de suas componentes x ( t ) e y ( t ) , a continuidade de σ t vai depender da continuidade de suas componentes x ( t ) e y ( t ) .

Assim, temos que a função σ t = ( x ( t ) , y ( t ) ) é contínua em t 0 se, e somente se, cada uma de suas componentes for contínua nesse ponto.

Por exemplo:

A função abaixo

σ t = cos ⁡ t 3 ,   t

Será que é contínua? Vamos começar achando o limite em t = a

lim t → a ⁡ σ ( t ) = lim t → a ⁡ cos ⁡ t 3 ,   t

Tanto para cosseno quanto para t podemos só substituir

lim t → a ⁡ cos ⁡ t 3 ,   t = cos ⁡ a 3 ,   a

Repara que isso é o valor da função em t = a ,

A função σ t é contínua em todos os pontos.

Acompanhou a ideia?

Então vou enunciar aqui pra você algumas propriedades de continuidade.

Propriedades de continuidade para funções vetoriais

Sejam σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) funções contínuas, então:

  1. σ 1 t + σ 2 t também é contínua
  2. σ 1 t - σ 2 t também é contínua
  3. σ 1 t ∙ σ 2 t também é contínua
  4. σ 1 t × σ 2 t também é contínua

Agora, mãos à obra!

Propriedades dos limites

Continuidade

Propriedades de continuidade para funções vetoriais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.127, exercício 1a.

Calcule lim t → 1 ⁡ F t , onde

F t =     t - 1 t - 1 ,   t 2 , t - 1 t

Passo 1

Repara que o que a gente tem é:

x t =   t - 1 t - 1

y t = t ²

z t =   t - 1 t

O que precisamos fazer é calcular

lim t → 1 ⁡ x ( t )

lim t → 1 ⁡ y ( t )

lim t → 1 ⁡ z ( t )

Passo 2

Vamos começar pelo lim t → 1 ⁡ x ( t )  

lim t → 1 ⁡ x ( t ) = lim t → 1 ⁡ t - 1 t - 1    

Aqui temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital. Assim:

lim t → 1 ⁡ t - 1 t - 1     = lim t → 1 ⁡ 1 2 t 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos para lim t → 1 ⁡ y ( t )

lim t → 1 ⁡ y ( t ) = lim t → 1 ⁡ t ² = 1

Passo 4

E, por fim, vamos para lim t → 1 ⁡ z ( t )

lim t → 1 ⁡ z ( t ) = lim t → 1 ⁡ t - 1 t     = 0

Resposta

1 2 , 1,0

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.127, exercício 1b.

Calcule lim t → 0 ⁡ F t , onde

F t =     t g   3 t t , e 2 t - 1 t , t 3

Passo 1

Repara que o que a gente tem é:

x t =   t g   3 t t

y t = e 2 t - 1 t

z t =   t 3

O que precisamos fazer é calcular

lim t → 0 ⁡ x ( t )

lim t → 0 ⁡ y ( t )

lim t → 0 ⁡ z ( t )

Passo 2

Vamos começar pelo lim t → 0 ⁡ x ( t )

lim t → 0 ⁡ x ( t ) =   lim t → 0 ⁡ t g   3 t t       = lim t → 0 ⁡ s e n 3 t t c o s 3 t  

Aqui temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital. Assim:

lim t → 0 ⁡ s e n 3 t t c o s 3 t = lim t → 0 ⁡ 3 c o s 3 t c o s 3 t - 3 t s e n 3 t = 3

Passo 3

Agora vamos para lim t → 0 ⁡ y ( t )

lim t → 0 ⁡ y ( t ) =   lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1 t

De novo temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital:

lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1 t = lim t → 0 ⁡ 2 e 2 t 1 = 2 = 2

Passo 4

E, por fim, vamos para lim t → 0 ⁡ z ( t )

lim t → 0 ⁡ z ( t ) =   lim t → 0 ⁡ t 3 = 0

Resposta

( 3,2 , 0 )

Exercício Resolvido #3

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.128, exercício 3.

Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.

  1. σ t = ( t ,   t ,   3 )
  2. σ t = t - 1 ,   t + 1 ,   e t

Passo 1

A questão pede pra a gente dizer em que pontos essas funções são contínuas. Pra isso, basta verificar em quais pontos cada componente da função é contínua e fazer a interseção de todos eles. Essa interseção será os pontos onde a função é contínua.

Passo 2

  1. σ t = ( t ,   t ,   3 )

Temos: x t = t  

y t = t

z t = 3

A primeira componente é um polinômio, portanto, é contínua em todos os pontos.

A terceira componente é um número, não depende de t, então a gente não precisa se preocupar com ela.

Já a segunda componente é uma raiz. Raiz par é contínua se o que tá dentro dela for maior ou igual a zero.

Fazendo a interseção de tudo isso, a função é continua para todo t ≥ 0 .

Passo 3

b )   σ t = t - 1 ,   t + 1 ,   e t

Temos: x t = t - 1

y t = t + 1

z t = e t

A terceira componente é uma exponencial, que é continua em todos os pontos.

Como a gente já viu na letra a, a primeira e a segunda componente serão contínuas se o que está dentro da raíz for maior ou igual a zero. Ou seja:

t - 1 ≥ 0

t ≥ 1

e

t + 1 ≥ 0

t ≥   - 1

Fazendo a interseção de tudo isso, a função vetorial é continua se t ≥ 1 .

Resposta

  1. t ≥ 0
  2. t ≥ 1