Curvas De Nível
Produzido por Bruno NeresTeoria
Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho melhor sobre curvas de nível, e como o cálculo vai nos ajudar a representar funções de várias variáveis!
Vem comigo 😆
⭐ Veja também ⭐
- Introdução a funções de várias variáveis.
- Superfícies de nível.
- Equações e parametrizações clássicas.
O que são curvas de nível?
Em Cálculo, curvas de nível são ferramentas usadas para visualizar funções de várias variáveis representadas em dimensões inferiores.
Basicamente, a gente quer encontrar um jeito simples de desenhar uma função tridimensional (ou às vezes de ordem maior ainda) em um papel, que é só bidimensional. É a mesma ideia daqueles mapas topográficos que a gente vê em Geografia, sabe?

Como fazer o cálculo de curvas de nível
Para calcular uma curva de nível
A definição formal é a seguinte:
Seja
Falando assim parece complicado, né? Mas prometo que já vai ficar mais claro!
Olha só, quando a gente olha pro gráfico da função

Agora, vamos olhar para aquela definição ali em cima e tentar imaginar o que seria a curva de nível 1 dessa função. 🧐
De acordo com a definição, a curva de nível 1,
Olha só, vendo esse gráfico aí em cima de lado, o

Então, a curva de nível 1 vai ser o conjunto de todos os pontos em que esse plano
Vou marcar essa interseção com um círculo preto ali no gráfico abaixo, ó:

Aí, repara só numa coisa: como a gente viu nesses gráficos ai, a curva de nível
Vamos achar a equação da curva de nível que a gente tava estudando anteriormente. É só igualar a função a 1:
Essa é a curva de nível da nossa função no nível

Se ficou perdido em algum momento, assiste esse vídeo rapidinho aqui que te explico de um jeito bem diretinho 👇
Mapa de Contorno
Mapa de contorno é o nome dado à representação das curvas de nível de uma função em
O negócio aqui é desenhar várias curvas de nível para uma função
Imagina o seguinte, quando você olha para aquele exemplo da montanha lá, se tivesse só uma curva de nível no mapa topográfico, não daria pra ter nenhuma ideia que na realidade existe uma montanha ali, concorda? Mas conforme você vai adicionando mais curvas de níveis diferentes, vai obtendo valores maiores, e aí já dá pra começar a ter uma ideia que esse relevo tá crescendo pra formar uma montanha!
Pegou a ideia? Porque é exatamente a mesma coisa que vamos fazer aqui!
Vamos aplicar isso aí no seguinte exemplo 👇
Exemplo: Desenhe o mapa de contorno da função .
A gente já viu que é só igualar a expressão da função a uma constante
A partir dessa equação, vamos analisar os intervalos de
Repara que, se o termo
Então, se
nossas curvas de nível são circunferências de raio
E se
Repara que essa igualdade só é satisfeita quando
Só falta ver o caso com
Se
Vamos resumir o que a gente achou:
Não há curvas de nível. Só temos o ponto . As curvas de nível são circunferências centradas na origem de raio igual a .
Então, só pra ficar mais bonitinho o nosso gráfico: se
Olha como fica nosso resultado:

Beleza? É muito importante não esquecer daquele pontinho ali na origem, porque pro mapa de contorno, a gente sempre tem que desenhar todos os tipos de curvas de nível.
Bora praticar com mais alguns exercícios!