Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho melhor sobre curvas de nível, e como o cálculo vai nos ajudar a representar funções de várias variáveis!

Vem comigo 😆

Veja também

O que são curvas de nível?

Em Cálculo, curvas de nível são ferramentas usadas para visualizar funções de várias variáveis representadas em dimensões inferiores.

Basicamente, a gente quer encontrar um jeito simples de desenhar uma função tridimensional (ou às vezes de ordem maior ainda) em um papel, que é só bidimensional. É a mesma ideia daqueles mapas topográficos que a gente vê em Geografia, sabe?

Representação do mapa topográfico de uma montanha.
Representação do mapa topográfico de uma montanha.

Como fazer o cálculo de curvas de nível

Para calcular uma curva de nível de uma função , é só a gente igualar .

A definição formal é a seguinte:

Seja um número real. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de todos os pontos pertencentes ao domínio de , tais que .

Falando assim parece complicado, né? Mas prometo que já vai ficar mais claro!

Olha só, quando a gente olha pro gráfico da função , a gente vai ver o seguinte:

Gráfico da função
Gráfico da função

Agora, vamos olhar para aquela definição ali em cima e tentar imaginar o que seria a curva de nível 1 dessa função. 🧐

De acordo com a definição, a curva de nível 1, , seria o conjunto de todos os pontos do domínio de para os quais .

Olha só, vendo esse gráfico aí em cima de lado, o tá naquela linha fininha que aparece ali:

Gráfico de
Gráfico de

Então, a curva de nível 1 vai ser o conjunto de todos os pontos em que esse plano intercepta o gráfico da nossa função!

Vou marcar essa interseção com um círculo preto ali no gráfico abaixo, ó:

Curva de nível 1 evidenciada.
Curva de nível 1 evidenciada.

Aí, repara só numa coisa: como a gente viu nesses gráficos ai, a curva de nível de uma função pertence tanto ao gráfico de quanto ao plano . Então, para acharmos a equação dessa curva de nível , é só igualarmos a função a essa constante!

Vamos achar a equação da curva de nível que a gente tava estudando anteriormente. É só igualar a função a 1:

Essa é a curva de nível da nossa função no nível . E sua equação é a de uma circunferência de raio 1 com centro na origem!

Gráficos de
Gráficos de

Se ficou perdido em algum momento, assiste esse vídeo rapidinho aqui que te explico de um jeito bem diretinho 👇

Mapa de Contorno

Mapa de contorno é o nome dado à representação das curvas de nível de uma função em .

O negócio aqui é desenhar várias curvas de nível para uma função , até que a gente tenha uma noção boa do comportamento do gráfico da própria função mesmo.

Imagina o seguinte, quando você olha para aquele exemplo da montanha lá, se tivesse só uma curva de nível no mapa topográfico, não daria pra ter nenhuma ideia que na realidade existe uma montanha ali, concorda? Mas conforme você vai adicionando mais curvas de níveis diferentes, vai obtendo valores maiores, e aí já dá pra começar a ter uma ideia que esse relevo tá crescendo pra formar uma montanha!

Pegou a ideia? Porque é exatamente a mesma coisa que vamos fazer aqui!

Vamos aplicar isso aí no seguinte exemplo 👇

Exemplo: Desenhe o mapa de contorno da função .

A gente já viu que é só igualar a expressão da função a uma constante , né? Então vamos fazer isso, deixando como uma constante genérica mesmo:

A partir dessa equação, vamos analisar os intervalos de para ver que tipos de curvas de nível a gente tem.

Repara que, se o termo for positivo, a gente tem a equação de uma circunferência. Pois a soma de dois termos quadráticos positivos igual a um outro termo positivo fornece a equação de uma circunferência.

Então, se

nossas curvas de nível são circunferências de raio .

E se ? Bora substituir na equação e descobrir:

Repara que essa igualdade só é satisfeita quando e . Então, nossa curva de nível em , na verdade é o ponto .

Só falta ver o caso com . Bora lá:

Se , o lado direito da equação fica negativo. Como o lado esquerdo é sempre positivo (já que as variáveis tão elevadas ao quadrado), essa equação não tem solução. Então, não temos curvas de nível para 😔

Vamos resumir o que a gente achou:

  • Não há curvas de nível.
  • Só temos o ponto .
  • As curvas de nível são circunferências centradas na origem de raio igual a .

Então, só pra ficar mais bonitinho o nosso gráfico: se , a circunferência vai ter raio igual a 1; se , a circunferência tem raio igual a e assim por diante.

Olha como fica nosso resultado:

Mapa de contorno para
Mapa de contorno para

Beleza? É muito importante não esquecer daquele pontinho ali na origem, porque pro mapa de contorno, a gente sempre tem que desenhar todos os tipos de curvas de nível.

Bora praticar com mais alguns exercícios!

Mapa de Contorno

Exemplo: Desenhe o mapa de contorno da função .