Curvas de nível e esboço de gráfico

Vamos observar o mapa de contorno com calma.

Primeiramente, podemos ver que as curvas de nível dessa função são circunferências centradas na origem. Outra coisa, ele indicou os níveis de algumas curvas: podemos ver que o raio das circunferências vai aumentando conforme o nível das curvas vai subindo.

Agora ficou fácil! Pra esboçar esse gráfico basta a gente ter em mente que as curvas de nível são fatias do gráfico.

Ou seja, se passarmos uma faca horizontalmente (visualiza mesmo que ajuda!) no gráfico dessa função numa altura , vamos obter uma circunferência, com centro em , e quanto maior for , maior será seu raio!

Aqui é importante a gente reparar que as circunferências vão aumentando cada vez mais devagar. Isto é, no começo elas estão bem próximas, mostrando que o gráfico cresce rápido, e depois elas estão mais espaçadas, o que mostra uma desaceleração no crescimento do gráfico.

Enfim, o gráfico é meio genérico, mas ele deveria ficar mais ou menos assim:

Mano, esse tipo de questão não tem jeito, fica até difícil explicar. A única coisa a se fazer é tentar visualizar como são os cortes horizontais da superfície e comparar com as alternativas.

A curva é aquela que cada corte vai resultar em vários círculos iguais, que é a da figura .

O mapa de contorno visualizando os cortes vamos ver tipo uma ondinha com a “perna” na parte positiva do eixo . Sei lá, não tem muito o que dizer...

Enfim, não confunda com a alternativa , o gráfico certo é o .

O mapa se fizermos os cortes vamos ver tipo uma ondinha com parecido com a anterior mas ela é simétrica, que é o gráfico .

Repare que o gráfico lembra vários paraboloides, e de fato as bolinhas do mapa de contorno lembram as curvas de nível de um paraboloide.

Pra gente poder relacionar as funções com os mapas de contorno, precisamos ter uma noção de como é o gráfico de cada uma delas. Então vamos começar fazendo isso, ok?

Primeira função :

Fazendo :

Elevando tudo ao quadrado:

Opa, isso é a equação de um cone circular!

Mas como nosso é uma raiz quadrada, devemos ter . Então na verdade a superfície é somente a metade superior de um cone circular.

Agora vamos ver como são as curvas de nível do gráfico dessa função.

Fazemos

Que nada mais é que uma circunferência centrada em e de raio .

Ou seja, as curvas de nível de um cone circular são circunferências (que surpresa!). Mas no caso isso não vai ajudar porque os 3 mapas de contorno só têm circunferências.

Então já sabemos que pras outras funções também nem adianta identificar a natureza das curvas de nível, todas vão ser circunferências.

Então agora vamos ter que analisar a cor dos mapas de contorno. Ele disse que quanto maior o valor de , mais clara a cor.

O ponto mais baixo, ou vértice, do nosso pedaço de cone é a origem! Lembra que vimos que ? Portanto na origem a cor do mapa deve ser mais escura que no resto todo dele.

Esse rosa aí da figura é clarinho, mas bom, ele é mais escuro que o branco né? Então o mapa de contorno que queremos tem que ter o centro rosa, o mais escuro possível.

Olhando as opções que ele deu já podemos eliminar a alternativa (a), que tem o centro branco.

Mesmo assim, tendo bem em mente como é o cone, já podemos determinar qual é o mapa de contorno certo:

Repare que ele sobe retinho (ele faz um ângulo de com o plano ), isso é um indício que as suas curvas de nível são igualmente espaçadas uma da outra. Assim a alternativa (b) estaria certa.

Mas isso é mais uma intuição que dá pra ter, é claro que podemos confirmar isso olhando as outras funções.

Então vamos dar uma olhada nessas funções. Temos

que é uma clássica! Inclusive provavelmente você já se deparou com ela em algum momento.

Fazendo

obtemos a equação de um paraboloide circular. É aquele que cortando na vertical obtemos parábolas e na horizontal circunferências.

Ele é assim:

Assim como pro cone, o vértice do paraboloide é a origem. Portanto, o centro do seu mapa de contorno também tem que estar em rosa.

Então, da mesma forma, podemos eliminar a alternativa (a).

Ou seja, dentre as alternativas (b) e (c), uma é do cone e a outra do paraboloide. E a alternativa (a) é da outra função (depois vamos verificar).

Pensando nos gráficos dessas superfícies e olhando as alternativas já dá pra determinar qual é qual!

O paraboloide é mais gordinho perto da origem, ele demora mais a crescer: por isso suas primeiras curvas de nível são mais espaçadas. Depois ele cresce bem rápido, o que faz suas curvas de nível serem mais próximas.

Por isso a alternativa (c) parece bem apropriada pra ele.

Mas vamos ver isso com mais calma, pra não ficar nenhuma dúvida :)

Pra visualizar melhor essas curvas de nível, podemos ver como é a interseção dessas superfícies com o plano (poderia ser também), zerando a variável .

Então no plano o que observamos é isso aqui:

Ou seja, no cone andamos sempre na mesma velocidade, o que faz as curvas de nível serem igualmente espaçadas pra valores igualmente espaçados de .

E no outro estamos seguindo uma função quadrática: as curvas de nível vão ficar cada vez mais próximas pra valores igualmente espaçados de .

Vou até dar uma incrementada na figura pra ficar mais claro. Pra obter as curvas de nível nós cortamos as superfícies com planos horizontais certo?

Então vamos fazer isso. O detalhe é que no plano vamos observar não planos, mas retas:

Repare como a distância entre as “curvas de nível” se mantém constante pra reta , enquanto pra parábola elas vão se aproximando cada vez mais.

Realmente podemos concluir que a alternativa (b) corresponde à função , enquanto a alternativa (c) corresponde a .

Por eliminação, resta a alternativa (a) e a função .

Vejamos que superfície é o gráfico dessa função:

Se você estiver manjando bem do assunto, vai perceber que é também um paraboloide circular, mas virado pra baixo.

Então na verdade o seu mapa de contorno vai ser bem parecido com o do outro paraboloide, que é o da alternativa (c). E de fato as alternativas (a) e (c) se parecem.

A diferença é que como dessa vez o paraboloide está virado pra baixo, seu vértice é o seu ponto mais alto. Assim o centro do seu mapa de contorno tem que estar mais claro.

E realmente o centro do mapa de contorno da alternativa (a) está branquinho como neve.

Então ótimo, está tudo fazendo sentido! :)

Vamos começar determinando as curvas de nível, igualando a função a uma constante qualquer :

Repare que isso é a equação de uma elipse! Podemos botá-la na forma tradicional

Dividindo tudo por :

É a equação de uma elipse centrada na origem, e cujos semieixos valem e .

Portanto, o mapa de contorno da função basicamente vai ser um monte de elipses de vários tamanhos, e que respeitem a condição que o semieixo horizontal é 3x maior que o vertical.

Por exemplo, com , temos a elipse

A questão pediu apenas o mapa de contorno, ela não exigiu especificar a equação de cada curva de nível e tal. Então mano, é só mandar bala e desenhar várias elipses respeitando essas proporções!

O que vai dar no mapa de contorno:

Obs: se empolgar e desenhar as curvas de nível nas cores do arco-íris é facultativo.

Agora ele quer o gráfico da função. É nessa hora que a gente chama de pra chegar na equação de uma superfície:

Aí agora ou você é o(a) mito das quádricas, bate o olho e já vê de cara que se trata de um paraboloide elíptico, ou você dá uma olhada no mapa de contorno da função e chega numa conclusão parecida.

Pra confirmar ainda podemos seguir o procedimento padrão e zerar as variáveis, vendo como são as interseções da superfície com os planos coordenados.

Fazendo , temos, no plano :

que é uma parábola.

E fazendo , temos, no plano :

que, vejam só, também é uma parábola!

Resumindo, nossa superfície vai ser a junção de um monte de parábolas voltadas pra cima e com vértice em . Sendo que se cortarmos ela horizontalmente, temos que observar as elipses do mapa de contorno.

Então lá vai o gráfico:

Calma que ainda não acabou! Ele ainda quer que a gente compare o mapa de contorno com o gráfico... o que é meio idiota já que nos baseamos no mapa de contorno pra fazer o gráfico!

Enfim, aqui eu diria algo do tipo “eles são coerentes um com o outro, as curvas de nível são elipses, o gráfico é um paraboloide elíptico, faz total sentido, blablabá”. Algo do tipo. Afinal, você é universitário(a), eu confio no seu poder de enrolation! ;)

a)

Essa função é diferente porque ela é definida por partes, mas isso não afeta muito nosso procedimento pra esboçar o gráfico.

Vamos começar vendo a parte de cima, quando . Temos:

E aí, conseguiu identificar a Quádrica? E essa daqui?

Vou dar uma dica: muitos usaram o nome dessa superfície pra falar do Fred da seleção brasileira na copa do mundo de 2014 :)

É a clássica equação de um cone! Ou melhor, sendo mais rigoroso, a metade superior de um cone circular:

Se você reconheceu essa mas não a outra, você provavelmente caiu no dibre da questão, que foi acrescentar um , um sinal negativo, só pro aluno se perder.

Enfim, a superfície vai ser que nem esse cone aí da figura mas virado pra baixo e deslocado de pra cima no eixo !

Também não podemos esquecer que estamos na região . Ou seja, como

E o que tá dento da raiz tem que estar entre 0 e 16, temos

Perceba que na sua altura mínima, , vamos ter uma circunferência de raio :

Depois o cone sobe até atingir o ponto do James Bond: .

A partir disso tudo, podemos esboçar tranquilamente esse gráfico!

Mas ainda falta a outra parte da função, quando :

Vamos dar uma melhorada nisso elevando ao quadrado (mas tem que tomar cuidado, vou explicar o porquê):

Isso é a equação de uma esfera de raio 5 centrada na origem!

Eu disse que temos que tomar cuidado quando elevamos ao quadrado porque a nossa função de origem é . Então na verdade a superfície é a metade superior da esfera, show?

Agora, que nem fizemos pro cone, vamos ver como é limitada essa esfera.

Quando temos

Mas vimos que , então nesse caso .

Agora, quando temos

Então o gráfico dessa parte da função é um pedaço de uma semiesfera de raio centrada na origem, que vai da altura até .

Saca só o gráfico dela:

Mas ele pediu gráfico da função . Pra isso basta juntar os 2 gráficos que achamos, o do cone com o da esfera!

Assim o gráfico de é:

b)

Como essa função é definida por partes, a primeira coisa que temos que fazer é determinar em qual parte da função o ponto se encontra. E isso vai ser bem simples, basta a gente calcular pro ponto :

E como , temos que considerar a parte de cima da função, dada por

Assim, temos

Portanto, o ponto pertence à curva de nível da função. Vamos ver que curva é essa?

Igualando a equação da função a :

Ótimo! Então a curva de nível que contém o ponto é uma circunferência de raio centrada no ponto .

Geralmente temos uma função e pedem as curvas de nível, aqui vamos ter que fazer o contrário! De cara pode parecer difícil, mas já já você vai ver que não tem mistério.

Olhando a figura, vemos que as curvas de nível da função são parábolas, voltadas pro sentido positivo do eixo .

Inclusive podemos ver que elas têm a mesma inclinação, o que muda é apenas o vértice delas, que vai se deslocando pelo eixo .

Repare que o vértice da curva de nível 0 é o ponto , o da curva de nível 1 é o ponto , o da curva de nível 2 o ponto e assim por diante...

Ou seja, a partir dessas observações concluímos que a curva de nível dessa função é uma parábola voltada pro sentido positivo do eixo e com vértice em .

Então essas curvas de nível são da forma

onde seria uma constante qualquer.

Pra achar a curvas de nível da função, temos que igualá-la a :

E ali em cima achamos

Então vamos aproveitar isso! Obtemos um sisteminha bobo:

Show, estamos quase lá!

Somando dos 2 lados na 1ª equação:

Agora substituindo a 2ª equação nessa:

Pronto, aí está nossa função ! :)

Viu que foi tranquilo?

a)

Essa é tranquila! A única expressão que poderia causar nessa função é o logaritmo, porque o termo dentro dele tem que ser estritamente positivo.

Mas, no caso, esse termo é .

O único ponto em que é a origem! Portanto, o domínio de é todo o menos a origem.

b)

Pra achar as curvas de nível, temos que igualar a função a uma constante qualquer :

Vamos nos livrar desse logaritmo fazendo:

O termo é constante, portanto temos a equação de um círculo! Ele é centrado na origem e tem raio :

Agora só resta esboçar as curvas de nível! Pro nível por exemplo temos uma circunferência de raio :

Pro nível o raio vale , pro nível ele vale , assim sucessivamente podemos obter vários níveis. Tudo bem que alguns valores como são difíceis de determinar de cabeça. Aqui é fundamental lembrar que vale mais ou menos .

Enfim, o mapa de contorno é uma sucessão de circunferências cujo raio vai aumentando conforme subimos de nível. Ele vai ficar assim:

Agora vamos pro gráfico!

As curvas de nível vão ser uma grande ajuda pra gente esboçar esse gráfico. Temos sempre que ter em mente que elas são “fatias” do gráfico. É como se você pegasse uma faca e cortasse o gr��fico em várias alturas na horizontal.

Enfim, além disso a gente tem a maneira mais oficial de visualizar o gráfico pra poder esboçá-lo, que é analisando as suas interseções com os planos coordenados.

Então vamos fazer isso!

Vamos começar lembrando o que já fizemos, que foi zerar a variável ! Lembra? A curva de nível da função nada mais é que a interseção do gráfico com o plano !

E obtivemos

a equação de um círculo de raio centrado na origem.

Agora vamos zerar o :

Pelas propriedades do logaritmo, temos

Portanto, a interseção do gráfico com o plano tem equação

E se você sabe esboçar o gráfico da função essa daí não é nenhum problema: basta dobrar os valores. Saca só:

E no plano , zerando a variável , vamos ter a mesma coisa!

Show, agora temos todos os elementos necessários pra fazer um bom esboço!

Então é mão na massa! Lembrando da cara do mapa de contorno e das interseções com os planos coordenados, obtemos o gráfico:

Vamos lá! Primeiro, escolhemos uma superfície da coluna , e, depois, vemos qual é a curva de nível correspondente, tudo bem?

Para descobrir a superfície, basta que zeremos cada variável, uma por vez, e analisemos a curva resultante do corte feito pelo plano formado pelas outras duas variáveis.

Por exemplo, para a primeira superfície:

Se zeramos a variável , estamos no plano , que, quando corta a superfície nos dá:

Ou seja, um par de retas no plano !

Da mesma forma, zerando a variável , temos o mesmo par de retas, mas no plano !

E, para qualquer nível , temos:

Veja que, como está ao quadrado, pode ser negativo, ou positivo, que não teremos nenhuma indeterminação! E as curvas de nível são circunferências, no caso, de raio , e paralelas ao plano . Assim, temos que corresponde ao duplo cone:

E qual é a curva de nível que atende a equação desse cone? Basta vermos uma que a primeira coordenada ao quadrado somada com a segunda ao quadrado dê a terceira ao quadrado, pois a equação da superfície é !

A única curva que atende a esse requisito é a , pois

Show, já matamos uma!

Partindo para a próxima, temos a seguinte superfície:

Pelo mesmo processo, se tornarmos a variável , estamos andando pelo plano , certo? E teremos a curva:

Que é a clássica parábola! Neste caso, lembre, ela está no plano , e aponta no sentido do eixo , pois o coeficiente de é , que é maior que ;)

Zerando, agora, o , teremos:

Que é uma outra parábola, né? Mas, dessa vez, está com a boca para baixo, apontando no sentido negativo do eixo !

Prosseguindo, se zeramos , temos:

Ou seja, no plano , em , temos um par de retas, simétricas, que passam pela origem! Essas retas, percebam, são seriam “retas” se ! Veja, colocando , temos:

Que é uma hipérbole! Já pegou a ideia? Temos parábolas e hipérboles... estamos num parabolóide hiperbólico!

Perfeito, já matamos outra superfície!

E agora? Para encontrar a curva de nível que corresponde ao nosso parabolóide hiperbólico, temos que ver qual delas atende ao requisito: a segunda coordenada ao quadrado menos a primeira coordenada ao quadrado deve ser igual a terceira coordenada:

A única curva que isso acontece é a

Segura que está quase! Vamos pra terceira superfície? Ela é:

Isso tá parecendo programa infantil: vamos, dee nooovo (ebaa \o/), zerar cada uma das variáveis!

Zerando o , temos, no plano :

Opa, é uma hipérbole!

Agora, vamos zerar o ? Teremos, assim, no plano :

Ih, olha só, outra hipérbole! Meio na cara né... as únicas duas opções que temos são hiperbolóides XD E agora? Só resta zerar a variável , né?

Fazendo isso, teremos:

Opa... calma aí, dois números ao quadrado, ainda por cima somados, dando um número negativo? Isso não pode acontecer no ! Sabe o que isso significa? Que nossa superfície não está definida no plano , ou seja, quando ! Daí sabemos que estamos falando do hiperbolóide de duas folhas:

Perceba que, colocando , por exemplo, teríamos , ou seja, nossa curva de nível é uma circunferência de raio :D

Já dei um spoiler de que nossas curvas de nível serão circunferências né XD Mas, para não perder a rotina, temos que escolher, dentre as duas curvas que restam, a que obedeça à equação do hiperbolóide:

Ou seja, que a terceira coordenada ao quadrado, seja a soma da primeira com a segunda, ambas ao quadrado, mais um :)

E a curva que nos fornece essa relação é:

Bom, agora que restou apenas a última superfície, vlw flws aí galera. Até a próxima questão!

Brincadeira XD Não vamos ficar na mão assim né? O RespondeAí vale cada centavo, cada questão :D

Vamos lá, qual será a diferença entre esse hiperboloide que temos agora e o outro? Se zerarmos , teremos, no plano :

Ou seja, uma hipérbole, assim como o outro...

Se zerarmos o , teremos no plano ,

Outra hipérbole! Até agora tudo igual né?

Mas, zerando , teremos, no plano ,

Uma circunferência! Viu? Quando cortamos nossa superfície pelo plano , temos alguma coisa palpável! Isso significa que a superfície existe em , e sua curva de nível é essa circunferência de raio . Por isso, temos um hiperbolóide de uma folha, pois é uma superfície contínua e definida em todo o !

Agora, só vamos verificar que a curva de nível restante realmente pertence ao hiperbolóide! Ela é:

E está sobre o hiperbolóide , pois, colocando , temos que

E é uma solução para essa equação :D