Tipos de Funções de Várias Variáveis

Teoria

Existem alguns tipos importantes de funções de várias variáveis que vamos ver, vamos dar uma passadinha rápida por elas aqui

As funções lineares são aquelas que aparecem apenas , sem estar dentro de função nenhuma, nem estar elevado a ninguém

Essa é a forma geral, ali vamos ter , e qualquer valor MESMO.

Todas as duas são lineares

Uma função vai ser homogênea se eu puder fazer a seguinte conta

Basicamente, eu multiplicar cada variável por eu posso tirar esse , possivelmente elevado a alguma coisa, da função. Por exemplo

Essa função é homogênea? É só substituir por e ver se conseguimos tirar o da função, dá um look

Repara que conseguimos colocar em evidência e sobrou que é a nossa função original, então

Essa função é homogênea, e temos , esse nada mais é que o grau da homogeneidade.

Vamos para os exercícios

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.152, exercício 4 - modificado

Seja a função , onde é linear. Determine sabendo que

Se a nossa função é linear e depende de duas variáveis, ela é da forma

Precisamos achar esse e pelos valores que ele deu no enunciado

Vamos substituir os pontos

Assim temos

E a nossa função vai ser