Teoria
Revisão - Teorema de Stokes
Seja uma superfície orientada, se é um campo vetorial de classe (sua primeira derivada é contínua) e se a fronteira de , que chamaremos de está orientada positivamente, pelo Teorema de Stokes:
Ou seja, usamos o teorema de Stokes geralmente quando encontramos uma integral de linha difícil de ser calculada mas que possua um rotacional mais tranquilo. A fórmula do rotacional é essa aqui
Curvas Abertas
Já vimos que o Teorema de Stokes é usado para uma superfície que possua como fronteira uma curva fechada! Mas e se a fronteira for uma curva aberta e mesmo assim percebermos que pela teorema de Stokes a questão seria muito fácil? Um exemplo é um campo que tenha , iria ser moleza, né?
Neste caso podemos fechar a curva! Uma curva fechada tem o seu final coincidente com o início. Ué, e pode fazer isso? Pode! Desde que façamos uma pequena alteração na fórmula do teorema.
Se temos uma curva aberta qualquer , para aplicar o teorema de Stokes temos que fechá-la com uma curva gerando uma superfície
Dessa forma o teorema de Stokes fica
Bem simples, né? Perceba que deve ser a fronteira , portanto essa soma de integrais de linha volta para o teorema original de Stokes
O que fizemos, no final das contas, foi só utilizar um artifício matemático pra conseguir usar o teorema mesmo com a curva aberta.
Algumas observações importantes aqui:
1ª Obs: A integral de linha da curva deve ser simples de calcular! Não adianta nada fazer tudo isso pra ainda ter que calcular uma integral difícil, não é?
2ª Obs: Você pode fechar uma curva com quantas curvas você achar necessário, só lembre-se que teremos que calcular todas essas integrais de linha, então escolha bem qual curva usaremos pra fechar!
3ª Obs: E por fim, para termos uma resolução simples é essencial ter um rotacional bem fácil de integrar! Caso não seja também não vale a pena usar o teorema de Stokes.
Vamos ver um exemplo de uma questão que fica muita tranquila se fecharmos a curva e usarmos o teorema de Stokes
Exemplo: Calcule a integral de linha onde é a interseção do cilindro com o plano no intervalo e
Antes de mais nada, vamos fazer um esboço dessa curva
Veja que nossa curva aqui é aberta e, teoricamente, não poderíamos usar o teorema de Stokes aqui. Mas porque tentar fechar a curva só pra usar esse tal teorema? Não vai dar muito mais trabalho? Essa é a pergunta chave! Nesse caso aqui fechar a curva facilita muito, olha o rotacional desse campo
Perfeito, não é? Com o rotacional nulo, aquela integral dupla do teorema de Stokes fica igual a zero!
Bom, essa é a primeira parte pra valer a pena fechar a curva, a segunda observação que devemos fazer é procurar uma curva simples pra fechar a tal curva, uma reta geralmente é uma boa escolha, nesse caso aqui
Perceba que o enunciado nos deu a curva no intervalo de , portanto o sentido que escolhemos para a nova curva deve ser tal que se forme uma superfície orientada.
Vamos voltar para o enunciado, as extremidades da curva são os pontos em que
Portanto a reta nada mais é a que liga até e podemos parametrizá-la como onde , incrivelmente simples, né?
Voltando para o enunciado do teorema de Stokes
Onde , portanto essa integral dupla vale zero!
Só precisamos calcular a integral de linha dessa curva bem mais simples! Vamos finalizar então
Pronto, agora é só voltar teorema de Stokes
Tranquilo, não é? É muito importante perceber quando vale a pena fazer esse macete de fechar a curva, vamos pros exercícios praticar isso pra entender melhor!