Teoria

Olá, galerinha! Neste tópico nós vamos lidar com mais integral de superfície, mas ela vai ter algumas particularidades que teremos que resolver. Então o desafio está lançado!

Calcule o trabalho realizado pelo campo F → ao longo de γ , onde

F → x , y , z = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z

E γ é a curva dada pela interseção de x 2 + y 2 = 1 com z = y + 3 , orientada de forma que a projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

Relembrando o Teorema de Stokes

De cara, a gente pensa em aplicar o método direto, mas já adianto que jogar a parametrização da superfície naquele campo vai ser complicado. Então vamos aplicar o Teorema de Stokes que nos diz isso:

Seja S uma superfície orientada, se F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 podemos escrever o teorema de Stokes desse jeito aqui:

∬ S   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S   F → . d r

Mas isso só pode ser feito atendendo 3 condições:

  1. Curva fechada
  2. Sem singularidade
  3. Orientada positivamente

Então vamos ver se o nosso problema preenche o requisito!

  1. Vamos verificar se a nossa curva é fechada olhando o gráfico da região. Temos um cilindro elíptico cortado por um plano:
  2. A questão pede para calcularmos a integral de linha em γ , que é a interseção do plano inclinado com o cilindro. Como podemos ver, γ forma uma elipse. Percebeu?

  3. Vamos ver se ela tem singularidade! Lembrando que um campo com singularidades é um campo no qual pelo menos um ponto do domínio não está definido.
  4. Então vamos olhar para o nosso campo,

    F → x , y , z = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z

    Repara que temos um termo x 2 + y 2 no denominador. E lembra que numa fração, o denominador não pode ser zero. Ou seja, não temos um domínio definido ali. Eita...

    E como vamos resolver isso? Então o que que a gente faz nesses casos? A gente procura um jeito de isolar a singularidade! Vem comigo que eu te mostro como podemos fazer isso!

    Isolando a Singularidade

    No geral, para isolar uma singularidade, devemos pegar superfícies que não incluam estes pontos. Pois o Teorema de Stokes pode ser aplicado para qualquer superfície que tenha aquela borda!

    Repare que x e y não podem ser iguais a zero, pois temos uma indeterminação, portanto, o campo não está definido no eixo z . Então, não podemos usar o plano como superfície, porque ele corta o eixo z (dá uma olhadinha o gráfico acima de novo). Então, em vez de usar o plano, vamos usar esse pedaço do cilindro (parte lateral do cilindro).

    Seguindo! Se ao definir esta nova superfície surgir uma nova borda, devemos ficar atentos para somar esta borda no teorema de Stokes.

    ∬ S '   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S 1   F → . d r + ∮ ∂ S 2   F → . d r

    Onde, S ' é a nova superfície, ∂ S 1 é a borda original e ∂ S 2 é a nova borda de superfície S ' .

    Então vamos olhar de novo o desenho! S é o pedaço do cilindro cortado pelo plano e vamos ter agora um ∂ S que é a própria curva γ somada a borda debaixo do cilindro C (uma circunferência).

    Essa cuva C , a gente que define! Só não podemos pegar nenhuma superfície que passe pela origem, sendo mais fácil então usar duas curvas do clindro.

    Temos então:

    ∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r

    Com isso, a gente já isolou a nossa singularidade! Agora vamos para nossa terceira condição que é a orientação.

  5. Agora vamos pensar nas orientações. Se γ está no sentido anti-horário, pela Regra da Mão direita, S deve ter vetor normal apontando para dentro. Consequentemente, C , que tá em baixo, gira no sentido horário, para que o vetor normal continue apontando pra fora.

Agora vamos resolver cada parte dessa igualdade integrais!

Vamos começar pela parte,

∬ S   r o t F → . n → d s

Vamos seguindo e calcular o nosso rotacional. Lembra do campo,

F → ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , z )

Temos:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0,0 - 0 , - 2 x y x 2 + y 2 2 - ( - 2 x y x 2 + y 2 2 ) = 0,0 , 0

Agora precisamos parametrizar S para encontrar seu vetor normal. Mas vamos pensar um pouco aqui, com malandragem.

Se a superfície é um cilindro com simetria em z , seu vetor normal tem essa componente nula. Seria algo assim:

n → = ( ? , ? , 0 )

Agora, fazendo o produto escalar disso com r o t F → olha o que encontramos:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ S   0,0 , 0 ( ? , ? , 0 ) d s = 0

Nem precisamos parametrizar nada aqui então, pois o resultado dessa integral é zero, viu?

Então ficamos assim,

∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = 0

Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, C .

Como a circunferência C   está no plano x y , sua equação é a mesma do cilindro:

x 2 + y 2 = 1

Parametrizando isso aí, lembrando que estamos no sentido horário, temos:

C → θ = sen ⁡ θ ,   c o s   θ , 0

Como temos uma volta completa no sentido horário, θ vai de 0 a 2 π .

Essa última componente z = 0 é porque a curva está no plano x y .

Certo, agora vamos derivar isso aí:

C → ' θ = c o s   θ , - sen ⁡ θ , 0

Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:

∫ C   F → . d r → = ∫ C   F → x θ ,   y θ ,   z ( θ ) . C ' → d θ

F → ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , z )

F → θ = sen ⁡ θ s e n 2 ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) , c o s ( θ ) s e n 2 ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) , 0

F → θ = sen ⁡ θ , cos ⁡ θ , 0

Levando para a integral e usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

∫ C   F → . d r → = ∫ 0 2 π sen ⁡ θ , cos ⁡ θ , 0 . c o s   θ , - sen ⁡ θ , 0 d θ

= ∫ 0 2 π ( c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) - cos ⁡ θ s e n θ ) d θ = ∫ 0 2 π 0 d θ = 0

Temos então

∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s - ∫ C   F → . d r = 0 - 0 = 0

Resposta:

0

OBS Final: Galerinha, nesse exemplo a gente viu um caso de singularidade que foi com fração, mas outro caso de singularidade comum é a raiz de números negativos. Como trabalhamos com o conjunto dos números reais, não existe raíz de número negativo, então devemos também ficar atento a este caso! Nesta ideia de singularidade devemos sempre desconfiar quando encontrar frações, raízes de expoente par e logaritmos!

Isolando a Singularidade