Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 18
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos trabalhar os pontos importantes da função.
Primeiro, queremos os intervalos onde ela é crescente e decrescente.
Ela vai ser crescente quando a sua derivada for positiva
E decrescente quando sua derivada for negativa
Depois queremos os máximos e mínimos locais.
Para isso encontramos os pontos críticos da função, que é onde a derivada é igual a zero.
E então verificamos, se antes do ponto a derivada é positiva e depois negativa, é um ponto de máximo, pois a função crescia, chegou no máximo e depois decresce.Se for o contrário, o ponto é de mínimo, pois aí a função decrescia, chegou no mínimoe então passou a crescer.
Por fim, para encontrar os intervalos de concavidade, vamos derivar de novo, para encontrar a segunda derivada.
Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima:
Se a segunda derivada for negativa, a função é côncava para baixo:
E quando a segunda derivada é nula, isso indica um ponto de inflexão:
Bora lá?
Passo 2
Primeiramente vamos obter a derivada de :
Usando a regra do produto, que é dada por:
Portanto, temos que:
A função quando derivada, temos uma regra da cadeia, que é dada por:
Portanto,
Dessa forma, temos:
Passo 3
Uma função é crescente onde sua primeira derivada é positiva, ou seja:
Dividindo por em ambos os lados, temos (podemos fazer isso pois nunca é igual a zero):
Multiplicando tudo por para facilitar, temos:
E como a função dada é:
Temos aí uma raíz de , que só existe para valores positivos, portanto, o que encontramos tem que ser maior que zero.
Passo 4
Uma função é decrescente onde sua derivada é negativa, ou seja:
Logo, é crescente em e decrescente em .
Passo 5
Para máximos e mínimos locais devemos achar os pontos críticos:
O único ponto crítico é , e como cresce até esse ponto e decresce a partir dele, então é uma máximo local.
Passo 6
Item c:
Primeiramente vamos obter a derivada segunda de .
Mas antes, vamos dar uma olhada na derivada primeira.
Podemos colocar o em evidência:
E então fazer a regra do produto para encontrar a segunda derivada:
Organizando:
Passo 7
A concavidade de uma função é para cima se sua derivada segunda for maior que zero:
Colocando a exponencial em evidência, temos:
A função sempre retorna valores positivos, portanto, quem vai ditar o sinal da derivada é o polinômio .
Sua raíz é (aplicando Bhaskara).
Esse polinômio é positivo quando
Portanto, a concavidade é para cima.
Analogamente a concavidade é para baixo, quando:
Quando a segunda derivada segunda de uma função é zero em um ponto então esse ponto é o ponto de inflexão, logo:
E isso vai ocorrer em
E como vimos, apenas o polinômio ali que zera e sua raíz está em
Portanto, possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .
Resposta
(a) é crescente em e decrescente em .
(b) é uma máximo local
(c) possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .