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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 41

41- Placa inclinada Calcule a força do fluido em um lado de uma placa quadrada de 5 por 5 pés se a placa estiver no fundo de uma piscina cheia de água a uma profundidade de 8 pés e

  1. Deitada com seu lado de 5 por 5 pés.
  2. Em repouso vertical em uma borda de 5 pés.
  3. em repouso sobre uma borda de 5 pés com 45° de inclinação em relação ao fundo da piscina.

Passo 1

Na letra a) a placa está deitada, logo o fluido não varia a pressão em cima da placa, podendo então calcular da seguinte forma:

P = F × A = w h × a 2 = 62.4 l b p e 3 × 8 p e × 5 2 p e 2 = 12480   l b

Passo 2

Na letra b) A placa se encontra totalmente vertical, como desenhado na imagem.

Logo o comprimento total da placa é de 5 pés e sua profundidade se encontra a 8 - y com y variando de 0 a 5. Ficando assim nossa integral de força:

F = ∫ 0 5 62.4 × 5 × 8 - y d y = 312 8 y - y 2 2 0 5

Aplicando o intervalo teremos:

F = 312 40 - 25 2 = 8580   l b

Passo 3

Já a letra c tem-se a seguinte situação:

Nesse caso o comprimento da placa continua valendo 5 e a variação da profundidade continua sendo 8 - y só que o intervalo de variação da altura é diferente e igual a altura dos seu cateto formado pelo ângulo de 45 que é:

2 x 2 = 5 → x = 5 2

Uma vez que para 45 graus temos os dois catetos iguais.

Logo nossa integral fica:

F = ∫ 0 5 / 2 62.4 × 5 × ( 8 - y ) d y

Essa seria a fórmula correta caso a placa estive perpendicular a um dos eixos, mas como ela está inclinada logo devemos corrigir-la para que a força do fluído esteja perpendicular a placa

E para você rebater uma força F a genérica que seria para uma placa plana para uma força F b para a placa inclinada de 45 teria que se fazer: A força resultante em uma placa inclinada é sempre maior.

F b cos ⁡ 45 = F a

F b = F a 2 2 = F a 2

Logo, a nossa integral corrigida fica:

F = ∫ 0 5 / 2 62.4 × 5 2 × ( 8 - y ) d y

F = 312 2 ∫ 0 5 2 8 - y d y

F = 312 2 8 y - y 2 2 0 5 / 2 = 312 2 40 2 - 25 4 = 9722.28   l b

Resposta

  1. 12480   l b
  2. 8580   l b
  3. 9722.28   l b
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