Uma barragem vertical tem um portão semicircular, como mostrado na figura. Calcule a força hidrostática contra o portão.

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos calcular a pressão hidrostática no portão, O que iremos calcular então é a soma resultante de micro pressões em microáreas do nosso portão. Isso te lembra algo? Sim, iremos utilizar a integral para encontrarmos a pressão.

O esboço do portão é o seguinte:

Passo 2

Assim, nossa força é

F = ∫ 0 2 ρ g 10 - x 2 4 - x 2 d x = 20 ρ g ∫ 0 2 4 - x 2 d x - ρ g ∫ 0 2 4 - x 2 2 x d x

Passo 3

Agora utilizaremos substituição por partes da seguinte forma:

u = 4 - x 2 ,   d u = - 2 x d x

Então,

F = 20 ρ g 1 4 π 2 2 - ρ g ∫ 0 4 u 1 2 d u = 20 π ρ g - 2 3 ρ g u 3 2 0 4 = 20 π ρ g - 16 3 ρ g =

ρ g 20 π - 16 3 = ( 1000 ) ( 9.8 ) 20 π - 16 3 ≈ 5.63 × 10 5 N

Resposta

5.63 × 10 5 N .

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