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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 17

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

17. y = 2 + x - 1 , y = - 1 5 x + 7

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso gráfico para assim vermos como a região é delimitada!

Em preto está a curva y = 2 + x - 1 e em vermelho está a função y = - 1 5 x + 7

Teremos que quebrar a integral em duas uma para x ≥ 1 e outra para x < 1 .

Vamos começar com x ≥ 1 :

Quem delimita acima é a função y = - 1 5 x + 7 e quem delimita abaixo é y = 2 + x - 1 = 1 + x , então

f x = - 1 5 x + 7     e   g x = 1 + x

Agora para descobrirmos quem delimita á direita, temos que igualar as duas funções, quem delimita à esquerda é x = 1 . Vamos igualar:

f x = g x

- 1 5 x + 7   = 1 + x

6 = x + 1 5 x

6 = 6 5 x

5 = x

Portanto é delimitado à esquerda por x = 1 e à direita por x = 5 .

Agora vamos para x < 1 :

Quem delimita acima é a função y = - 1 5 x + 7 e quem delimita abaixo é y = 2 - x + 1 = 3 - x , então

f x = - 1 5 x + 7     e   g x = 3 - x

Agora para descobrirmos quem delimita á direita, temos que igualar as duas funções, quem delimita à esquerda é x = 1 . Vamos igualar:

f x = g x

- 1 5 x + 7   = 3 - x

4 = - x + 1 5 x

4 = - 4 5 x

- 5 = x

Portanto é delimitado à esquerda por x = - 5 e à direita por x = 1 .

Vamos montar a integral, lembrando que temos que somar duas integrais, uma para x ≥ 1 e x < 1 .

A = ∫ 1 5 - 1 5 x + 7 - 1 - x d x + ∫ - 5 1 - 1 5 x + 7 - 3 + x d x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ 1 5 6 - 6 5 x d x + ∫ - 5 1 4 + 4 5 x d x

Vamos fazer primeiro a integral indefinida separadamente!

∫ 6 - 6 5 x d x = 6 x - 3 x 2 5 + C

∫ 4 + 4 5 x d x = 4 x + 2 x 2 5 + C

Então voltando para a expressão da integral definida, temos:

∫ 1 5 6 - 6 5 x d x = 6 x - 3 x 2 5 5 1 = 30 - 3 5 × 25 - 6 - 3 5 × 1 = 30 - 15 - 6 - 3 5 = 15 - 27 5 = 48 5

∫ - 5 1 4 + 4 5 x d x = 4 x - 2 x 2 5 1 - 5 = 4 × 1 + 2 × 1 2 5 - 4 × - 5 + 2 5 × 25 = 4 + 2 5 - - 20 + 10 = 22 5 + 10 = 72 5

Somando essas duas integrais para calcularmos a área, temos:

A = 48 5 + 72 5 = 120 5 = 24

Resposta

A = 24

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