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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 8

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

8. y = x 3 - 4 x , y = 0 , x = 0 , x = 2

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

O esboço da região é assim:

A curva é limitada acima por f x = 0 e abaixo é limitada por g x = x 3 - 4 x , à esquerda é delimitada pela reta x = 0 , então a = 0 e à direita é delimitada por x = 2 , então b = 2 .

Montando nossa integral da área, ela fica assim:

A = ∫ 0 2 ( 0 - ( x 3 - 4 x ) ) d x = ∫ 0 2 ( - x 3 + 4 x ) d x

Vamos calcular a integral indefinida abaixo:

∫ - x 3 + 4 x d x = - ∫ x 3 d x + ∫ 4 x d x

Vamos calcular em separado cada uma:

∫ x 3 d x = 1 3 + 1 x 3 + 1 + C = 1 4 x 4 + C

∫ 4 x d x = 4 1 1 + 1 x 1 + 1 + C = 4 1 2 x 2 + C = 2 x 2 + C

Voltando para a integral, temos, lembrando que essa integral ∫ x 3 d x vai com o sinal negativo:

∫ - x 3 + 4 x d x = - 1 4 x 4 + 2 x 2 + C

Passo 3

Vamos pegar a antiderivada abaixo

F x = - 1 4 x 4 + 2 x 2

Então para calcularmos a integral definida:

A = ∫ 0 2 ( - x 3 + 4 x ) d x = F 2 - F ( 0 )

Calculando F 2 e F ( 0 ) :

F 2 = - 1 4 2 4 + 2 2 2 = - 16 4 + 2 × 4 = - 4 + 8 = 4

F 0 = - 1 4 0 4 + 2 0 2 = 0

Voltando para a expressão da área, temos:

A = ∫ 0 2 ( - x 3 + 4 x ) d x = 4 - 0 = 4

Então:

A = 4

Resposta

4

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