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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 51

Ache a área da região limitada pela caternária y = a cosh ⁡ x a , a > 0 , pelo eixo y , pelo eixo x e pela reta x = x 1 onde x 1 > 0

Passo 1

Ele quer a área de:

y = a cosh ⁡ x a

Começando no 0 e terminando no x 1

Como o cosseno hiperbólico é sempre positivo, temos que fazer:

A = ∫ 0 x 1 a cosh ⁡ x a d x

Lembrando que:

∫ cosh ⁡ x d x = senh ⁡ x + C

Vamos ter:

A = ∫ 0 x 1 a cosh ⁡ x a d x = a senh ⁡ x a 1 a 0 x 1 = a 2 senh ⁡ x a 0 x 1

A = a 2 senh ⁡ x 1 a - a 2 senh ⁡ 0 a

A = a 2 senh ⁡ x 1 a - a 2 senh ⁡ 0

Como

senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

Vamos ter

A = a 2 senh ⁡ x 1 a

Resposta

A = a 2 senh ⁡ x 1 a

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