Faça um esboço da função cotangente hiperbólica. Ache as equações das assíntotas.

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

Agora vamos aos limites.

Vai ficar:

Deu uma indeterminação, vamos dar uma lgebrizada ai para tentar resolver:

Voltando para o limite:

Temos uam assíntota horizontal em

Agora vamos aos limites.

Vai ficar:

Opa, indetemirnação. Vamos usar L’Hospital para sair dessa

Temos uam assíntota horizontal em

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais porque a soma de exponencial não vai ser nunca

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Como:

Vamos ter

Esse termo é positivo paras qualquer valor de , então:

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Como a função e sempre crescente, não teremos extremos.

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

Derivando

A secante hiperbólica é sempre positiva.

Vmaos olhar o sinal da tangente.

Vamos ter que a derivada vai depende do sinal de

Vamos ter

Então:

Isso também nos diz que é um ponto de inflexao

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Assíntotas horizontais:

Ponto de inflexão:

O gráfico vai ficar: