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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 4b

Ache o valor exato da quantidade dada:

cos [tg^(- 1) (4)/(3) - sen^(- 1) (- (5)/(13))]

Passo 1

Eita que zona é essa expressão. Vamos começar fazendo

x = tg^(- 1) (4)/(3)

E

y = sen^(- 1) (- (5)/(13))

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

tg x = (4)/(3)

sen y = - (5)/(13)

Agora, vamos ter

cos [tg^(- 1) (4)/(3) - sen^(- 1) (- (5)/(13))] = cos (x + y)

Lembrando da fórmula do cosseno da diferença

cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y

Temso que achar o cos x , sen x e cos y

Passo 2

Como

sen y = - (5)/(13)

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen^2 y + c os^2 y = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

cos^2 y + (- (5)/(13))^2 = 1

cos^2 y + (25)/(169) = 1

cos^2 y = 1 - (25)/(169)

cos^2 y = (169 - 25)/(169)

cos^2 y = (144)/(169)

cos y = +- (12)/(13)

Logo temos

cos y = (12)/(13) , o u , cos y = - (12)/(13)

Passo 3

Aqui ele deu a tangente de x , e queremos o cosseno e o seno.

Para isso vamos usar a outra relação fundamental da trigonometria:

tg^2 x + 1 = sec^2 x

Isso porque :

sec x = (1)/(cos x)

Substituindo o valor da tangente

((4)/(3))^2 + 1 = sec^2 x

(16)/(9) + 1 = sec^2 x

sec^2 x = (16 + 9)/(9)

sec^2 x = (25)/(9)

Trocando a secante por cosseno:

(1)/(cos^2 x) = (25)/(9)

cos^2 x = (9)/(25)

cos x = +- (3)/(5)

Logo temos:

cos x = (3)/(5) , o u , cos x = - (3)/(5)

Passo 4

Como

cos x = (3)/(5) , o u , cos x = - (3)/(5)

E

tg x = (sen x)/(cos x) = (4)/(3)

Temos

(sen x)/((3)/(5)) = (4)/(3) , o u , (sen x)/(- (3)/(5)) = (4)/(3)

sen x = (3)/(5) (4)/(3) , o u , sen x = - (3)/(5) (4)/(3)

sen x = (4)/(5) , o u , sen x = - (4)/(5)

Passo 5

Agora que temos o que queriamos,

cos y = (12)/(13) , o u , cos y = - (12)/(13)

cos x = (3)/(5) , o u , cos x = - (3)/(5)

sen x = (4)/(5) , o u , sen x = - (4)/(5)

Temos que achar cos (x - y)

cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y

As possibilidades são:

cos y = (12)/(13) , e , cos x = (3)/(5) , e , sen x = (4)/(5)

cos y = (12)/(13) , e , cos x = - (3)/(5) , e , sen x = - (4)/(5)

cos y = - (12)/(13) , e , cos x = (3)/(5) , e , sen x = (4)/(5)

cos y = - (12)/(13) , e , cos x = - (3)/(5) , e , sen x = - (4)/(5)

Passo 6

Se

cos y = (12)/(13) , e , cos x = (3)/(5) , e , sen x = (4)/(5)

Então

cos (x - y) = ((3)/(5)) ((12)/(13)) + (- (5)/(13)) ((4)/(5)) = (36 - 20)/(65) = (16)/(65)

Passo 7

Se

cos y = (12)/(13) , e , cos x = - (3)/(5) , e , sen x = - (4)/(5)

Então

cos (x - y) = (- (3)/(5)) ((12)/(13)) + (- (5)/(13)) (- (4)/(5)) = (- 36 + 20)/(65) = - (16)/(65)

Passo 8

Se

cos y = - (12)/(13) , e , cos x = (3)/(5) , e , sen x = (4)/(5)

Então

cos (x - y) = ((3)/(5)) (- (12)/(13)) + (- (5)/(13)) ((4)/(5)) = (- 36 - 20)/(65) = - (56)/(65)

Passo 9

Se

cos y = - (12)/(13) , e , cos x = - (3)/(5) , e , sen x = - (4)/(5)

Então

cos (x - y) = (- (3)/(5)) (- (12)/(13)) + (- (5)/(13)) (- (4)/(5)) = (36 + 20)/(65) = (56)/(65)

Resposta

(56)/(65)

- (56)/(65)

(16)/(65)

- (16)/(65)

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Ache o valor exato da quantidade dada: sen ⁡ 2 cos - 1 ⁡ - 12 13
Ache o valor exato da quantidade dada: tg ⁡ cos - 1 ⁡ 3 5 + sen - 1 ⁡ - 7 25
Dado x = cos - 1 ⁡ 7 25 e y = tg - 1 ⁡ - 7 24 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a sen ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c cos ⁡ x ; d tg ⁡ x
Ache o valor exato da quantidade dada:tg [2 sen^(- 1) (- (24)/(25))]
Dado x = sen - 1 ⁡ 3 5 e y = cos - 1 ⁡ - 4 5 , ache o valor exato de cada uma das seguintes funções: a cos ⁡ x ; b sen ⁡ y ; c tg ⁡ x ; d tg ⁡ y