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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 32

32. Ache a área da região limitada pela curva y x 3 + 8 = 4 , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = 1 .

Passo 1

Neste tipo de questão, devemos lembrar la do início do estudo do conceito de integração que a área de uma região abaixo de uma curva y = f ( x ) é dada por A = ∫ a b f x d x em que a e b são chamados de limites de integração de x.

Passo 2

Sendo assim, reorganizando a função dada no enunciado , teremos:

y = 4 x 3 + 8 = f ( x )

Passo 3

Logo a área da região em questão pode ser calculada a partir de :

A = ∫ a b f x d x = ∫ 0 1 4 x 3 + 8 d x = 4 1 12 - 1 2 l n 1 3 x - 1 2 + 1 + 3 arctan ⁡ 1 3 x - 1 + 1 12 l n x + 2 0 1

= 4 1 12 - 1 2 l n 1 3 1 - 1 2 + 1 + 3 arctan ⁡ 1 3 1 - 1 + 1 12 l n 1 + 2

- 4 1 12 - 1 2 l n 1 3 0 - 1 2 + 1 + 3 arctan ⁡ 1 3 0 - 1 + 1 12 l n 0 + 2

= 1 3 ln ⁡ 3 - 4 1 12 - 1 2 ln ⁡ 2 3 - 3 . π 6 + 1 12 ln ⁡ 2

Resposta

A = 1 3 ln ⁡ 3 - 4 1 12 - 1 2 ln ⁡ 2 3 - 3 . π 6 + 1 12 ln ⁡ 2

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Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = e x 2 abaixo pela curva y = e - x 2 e à direita pelas curva y = 2 l n ( 2 )
Determine a área das regiões compreendidas entre y = s e n ( π x 2 ) e y = x
Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = e 2 x , abaixo pela curva y = e x e à direita pelas curva y = l n ( 3 ) .
Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo y , abaixo pela reta y = x 4 , acima à esquerda pela curva y = 1 + x e acima à direita pela curva y = 2 x .
Determine a área das regiões compreendidas entre y = c o s ( π x 2 ) e y = 1 - x 2