Ache o limite

lim x → 3 - ⁡ x 3 + 9 x 2 + 20 x x 2 + x - 12

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

lim x → 3 - ⁡ x 3 + 9 x 2 + 20 x x 2 + x - 12 = 3 3 + 9 3 2 + 20 3 3 2 + 3 - 12 = 27 + 81 + 60 9 + 3 - 12 = 168 0

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + ∞ ou - ∞

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 2

Vamos olhar a fração que temos no limite

x 3 + 9 x 2 + 20 x x 2 + x - 12

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 3 .

Primeiro, vamos colocar o x em evidência no numerador, para facilitar as nossas contas.

x x 2 + 9 x + 20 x 2 + x - 12

Agora, vamos fatorar as duas expressões de 2 º grau que apareceram ali. Para isso, temos que achar suas raízes

Passo 3

x 2 + 9 x + 20 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 4

x = - 5

E teremos

x 2 + 9 x + 20 = x - - 4 x - - 5 = x + 4 x + 5

A outra expressão de segundo grau vai ficar

x 2 + x - 12 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 4

x = 3

E teremos

x 2 + x - 12 = x - - 4 x - 3 = x + 4 x - 3

Passo 4

Voltando para a nossa fração, vamos ter

x x 2 + 9 x + 20 x 2 + x - 12

x x + 4 x + 5 x + 4 x - 3

Simplificando o x + 4

x x + 5 x - 3

Repare que ele que o limite para valores menores que 3 , mas próximos a ele. Então tanto x quando x + 5 serão números positivos. Fazendo o numerador ser positivo.

O denominador vai ser x - 3 , como estamos com valores de x menores que 3 , ele vai ser negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores menores que 3 é negativa. O que vai fazer com que aquele que vimos seja - ∞

lim x → 3 - ⁡ x 3 + 9 x 2 + 20 x x 2 + x - 12 = - ∞

Resposta

- ∞

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