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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 31

Dada

f (x) = {[[x^2,s,e,x,<=,-,2],[a,x,+,b,s,e,-,2,<,x,<,2],[2,x,-,6,s,e,2,<=,x]])

Ache os valores de a e b , tais que underset(x -> - 2)(lim) f (x) e underset(x -> 2)(lim) f (x) existam.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza?

Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de - 2 . E também de 2 .

Que se resume a:

underset(x -> - 2^+)(lim) f (x)

underset(x -> - 2^-)(lim) f (x)

E

underset(x -> 2^+)(lim) f (x)

underset(x -> 2^-)(lim) f (x)

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o - 2 .

Primeiro o limite pela direita:

underset(x -> - 2^+)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de - 2 . Mas cuidado, tem duas expressões maiores que - 2 . A que vamos escolher é aquela logo depois do - 2 .

Aqui vai ser a x + b .

Logo, vamos ter

underset(x -> - 2^+)(lim) a x + b = a (- 2) + b = - 2 a + b

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> - 2^-)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de - 2 .

Aqui vai ser x^2 .

Logo, vamos ter

underset(x -> - 2^-)(lim) x^2 = (- 2)^2 = 4

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace - 2 a + b) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace 4)

- 2 a + b = 4

Opa, lascou. Isso não é o suficiente, temos duas letras ali.

Calma, isso aconteceu porque precisamos olhar o outro limite que ele pediu, o em 2

Passo 5

Agora o limite em 2

Primeiro o limite pela direita:

underset(x -> 2^+)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 2 .

Aqui vai ser 2 x - 6 .

Logo, vamos ter

underset(x -> 2^+)(lim) 2 x - 6 = 2 (2) - 6 = 4 - 6 = - 2

Passo 6

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> 2^-)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 2 . Mas cuidado, tem duas expressões menores que 2 . A que vamos escolher é aquela logo antes do 2 .

Aqui vai ser a x + b .

Logo, vamos ter

underset(x -> 2^-)(lim) a x + b = 2 a + b

Passo 7

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace 2 a + b) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace - 2)

2 a + b = - 2

Repare que no fundo achamos duas equações, que é um sistema de equação

Passo 8

Vamso resolver o sistema

{[[-,2,a,+,b,=,4],[2,a,+,b,=,-,2]])

Para resolver esse sistema, vamos somar as equações:

(- 2 a + b) + (2 a + b) = 4 + (- 2)

- 2 a + b + 2 a + b = 4 - 2

2 b = 2

b = 1

Agora que achamos o b , precisamos substituir em qualquer uma das equações para achar o a . Vamos substituir na segunda

2 a + (1) = - 2

2 a + 1 = - 2

2 a = - 2 - 1

2 a = - 3

a = - (3)/(2)

Então devemos ter

a = - (3)/(2)

b = 1

Resposta

a = - (3)/(2)

b = 1

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