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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 21

Ache o limite

underset(x -> - oo)(lim) (4 x^3 + 2 x^2 - 5)/(8 x^3 + x + 2)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(4 x^3 + 2 x^2 - 5)/(8 x^3 + x + 2)

Passo 2

O nosso numerador é

4 x^3 + 2 x^2 - 5

Colocando x^3 em evidência

x^3 (4 + (2)/(x) - (5)/(x^3))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

8 x^3 + x + 2

Colocando x^3 em evidência

x^3 (8 + (1)/(x^2) + (2)/(x^3))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(4 x^3 + 2 x^2 - 5)/(8 x^3 + x + 2) = (x^3 (4 + (2)/(x) - (5)/(x^3)))/(x^3 (8 + (1)/(x^2) + (2)/(x^3))) = (4 + (2)/(x) - (5)/(x^3))/(8 + (1)/(x^2) + (2)/(x^3))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> - oo)(lim) (4 x^3 + 2 x^2 - 5)/(8 x^3 + x + 2) = underset(x -> - oo)(lim) (4 + (2)/(x) - (5)/(x^3))/(8 + (1)/(x^2) + (2)/(x^3))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> - oo)(lim) (4 + (2)/(x) - (5)/(x^3))/(8 + (1)/(x^2) + (2)/(x^3)) = (4 + 0 - 0)/(8 + 0 + 0) = (4)/(8) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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