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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 37

Ache a solução completa de

e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³

Usando a solução de bernoulli

1 1 - n   d u d x + P x u = Q x

Sendo

u   = y 1 - n

Passo 1

Primeiro vou reescrever a equação de bernoulli

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

Vamos reorganizar nossa equação para ficar mais bonitinha

e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³

d y d x + 2 x y = x e x 2 y ³

Pronto já podemos fazer a substituição

u = y 1 - n

Sendo n = 3

u = y - 2  

Reordenando todos os fatores obtemos :

d u d x + 1 - n 2 x   u = 1 - n   x e x 2

d u d x - 4 x   u = - 2   x e x 2

Num exercício anterior calculamos uma solução geral :

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

Sendo μ x o fator integrante que nos ajuda (E MUITO!!!) a resolver essa função.

Definimos μ x =   = e ∫ 1 - n P x d x

Passo 2

Entao agora temos

( 1 - n ) P x = - 4 x

1 - n Q x = - 2   x e x 2

Já temos o suficiente para encontrarmos μ x

Lembra que   μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Então

μ x = e ∫ - 4 x   d x

μ x = e - 2 x ²

Agora já podemos escrever u:

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

u = - 2 e - 2 x ²   .   ∫ e - 2 x ² .   - 2   x e x 2   d x  

u = 4 e - 2 x 2   .   ∫   x e 2 x 2 .   e x 2   d x  

u = 4 e - 2 x 2   .   ∫   x e 3 x 2   d x  

4 e - 2 x 2 - 1 6 e 3 x 2 + C

= - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2

Lembre-se , estamos fazendo uma integral indefinida, logo precisamos acrescentar uma constante arbitraria C

Show! Achamos a solução.

Agora podemos retornar de u para y

Sendo u = y - 2

y - 2 = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2

y = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2 - 1 2  

Resposta

y = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2 - 1 2

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