Ache a solução completa de

e^(x^2) * (dy/dx) + 2 * x * e^(x^2) * y = x * y^3

Usando a solução de bernoulli

1 / (1 - n) * (du / dx) + P(x) * u = Q(x)

Sendo

u = y^(1 - n)

Passo 1

Primeiro vou reescrever a equação de bernoulli

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

Vamos reorganizar nossa equação para ficar mais bonitinha

e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³

d y d x + 2 x y = x e x 2 y ³

Pronto já podemos fazer a substituição

u = y 1 - n

Sendo n = 3

u = y - 2  

Reordenando todos os fatores obtemos :

d u d x + 1 - n 2 x   u = 1 - n   x e x 2

d u d x - 4 x   u = - 2   x e x 2

Num exercício anterior calculamos uma solução geral :

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

Sendo μ x o fator integrante que nos ajuda (E MUITO!!!) a resolver essa função.

Definimos μ x =   = e ∫ 1 - n P x d x

Passo 2

Entao agora temos

( 1 - n ) P x = - 4 x

1 - n Q x = - 2   x e x 2

Já temos o suficiente para encontrarmos μ x

Lembra que   μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Então

μ x = e ∫ - 4 x   d x

μ x = e - 2 x ²

Agora já podemos escrever u:

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

u = - 2 e - 2 x ²   .   ∫ e - 2 x ² .   - 2   x e x 2   d x  

u = 4 e - 2 x 2   .   ∫   x e 2 x 2 .   e x 2   d x  

u = 4 e - 2 x 2   .   ∫   x e 3 x 2   d x  

4 e - 2 x 2 - 1 6 e 3 x 2 + C

= - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2

Lembre-se , estamos fazendo uma integral indefinida, logo precisamos acrescentar uma constante arbitraria C

Show! Achamos a solução.

Agora podemos retornar de u para y

Sendo u = y - 2

y - 2 = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2

y = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2 - 1 2  

Resposta

y = - 2 3 e x 2 + C 4 e - 2 x 2 - 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.5. x^2 * (dy/dx) + y^2 = x * y
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.3. dy/dx = y * (y^3 - 1)
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.10. 2 * (dy/dx) = (y/x) - (x/y^2) , no qual y(1) = 1 .
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.7. x^2 * (dy/dx) - 2xy = 3y^4 , no qual y(1) = 1 / 2
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.8. y 1 2 . d y d x + y 3 2 = 1 , no qual y 0 = 4 .