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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 33

Aparentemente, a elipse x 2 + x y + y 2 = 3 tem retas tangentes horizontais nos pontos de interseção da elipse com a reta y = - 2 x , conforme figura abaixo. Use derivação implícita para explicar por que isso, de fato, ocorre.

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando nossa equação:

x 2 + x y + y 2 = 3

→ 2 x + y + x d y d x + 2 y d y d x = 0

→ d y d x x + 2 y = - 2 x - y

→ d y d x = - 2 x + y x + 2 y

Passo 2

Belezinha, a questão quer a reta tangente horizontal, logo a derivada é 0 , então vamos calcular o ponto:

d y d x = - 2 x + y x + 2 y = 0

→ 2 x + y = 0 x + 2 y

→ 2 x + y = 0

y = - 2 x

Pronto, conseguimos demonstrar o que a questão queria.

Resposta

y = - 2 x

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