Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 19

Encontre a inclinação da reta tangente à curva nos pontos dados de duas maneiras: primeiro, resolvendo para y em termos de x e derivando; depois, por derivação implícita.

x 2 + y 2 = 1 ; ( 1 / 2 ,   3 / 2 ) , ( 1 / 2 ,   - 3 / 2 )

Passo 1

Bom galera, vamos isolando nosso y :

x 2 + y 2 = 1

→ y = ± 1 - x 2

Passo 2

Belezinha, agora derivamos a função:

y = ± 1 - x 2

→ d y d x = ± 1 2 1 - x 2 ⋅ ( - 2 x )

E com a nossa derivada a gente pode calcular a inclinação em x = 1 / 2 :

y ' = ± 1 2 1 - x 2 ⋅ ( - 2 x )

→ y ' = ± 1 2 1 - 1 2 2 ⋅ - 2 1 2

→ y ' = ± - 1 2 1 - 1 4 = ∓ 1 3 = ∓ 3 3

Passo 3

Show de bola, vamos agora derivar implicitamente:

2 x + 2 y d y d x = 0

→ d y d x = - 2 x 2 y

→ d y d x = - x y

E na inclinação de x = 1 / 2 , primeiro vamos encontrar o valor de y nesse ponto:

1 2 2 + y 2 = 1

→ y 2 = 1 - 1 4 = 3 4

→ y = ± 3 2

Passo 4

Por fim, calculamos nossa derivada:

d y d x = - x y

→ d y d x = - 1 2 ± 3 2

→ d y d x = ∓ 1 2 ⋅ 2 3

d y d x = ∓ 1 3 = ∓ 3 3

Resposta

∓ 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre y ' a derivada implícita de sen ⁡ ( x y ) = cos ⁡ ( x + y ) :
Encontre d y / d x derivando implicitamente. 1 + x = s e n ( x y 2 )
Encontre y ' a derivada implícita de x 2 x + y = y 2 + 1 :
Encontre y ' a derivada implícita de x 3 - x y 2 + y 3 = 1 :
Encontre y ' a derivada implícita de x 2 - 4 x y + y 2 = 4 :