Enunciado

Passo 1

Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

Passo 3

Isolando d y // d x

Resposta

(d y)/(d x) = (- ( 2 + (y)/(2 sqrt(x y)) ))/(( (x)/(2 sqrt(x y)) - (1)/(2 sqrt(y)) ))

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A função y = f x , y0 , é dada implicitamente por x 2 + 4 y 2 = 2 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1 .
Suponha que y = f x seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Suponha ainda que 1 ∈ D f .a) Calcule f 1 .b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
A reta tangente à curva x y - x 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 , intercepta o eixo y no ponto B . Mostre que a área do triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e B não depende de x 0 , y 0 .
Determine a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , y 0 ≠ 0 .
A função y = f x é dada implicitamente pela equação 3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3 . Sabe-se que, para todo x ∈ D f , f x0 e que f admite uma reta tangente T paralela à reta 5 y - x = 2 . Determine T .