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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 10

Aproxime a integral com a regra do ponto médio:

∫ 0 1 x 3 + 1 d x   ,   n = 5

Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Aqui precisamos usar a regra do ponto médio pra calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 x 3 + 1 d x ,     n = 5

O enunciado pede pra que a resposta seja arredondada em 4 casas decimais. A regra do ponto médio diz que:

∫ a b f x   d x ≈ ∆ x ( f x 1 - + … + f x n -

Onde:

∆ x = b - a n

Na pratica, vamos separar a região abaixo da curva x 3 + 1 em retângulos com largura ∆ x e altura f x - .

x i - = 1 2 x i - 1 + x i = p o n t o   m é d i o   d e   x i - 1 ,   x i

Pelo enunciado temos n = 5 , agora tudo o que a gente precisa fazer é substituir e calcular a nossa integral!

Veja só!

Passo 2

Precisamos determinar Δ x e os pontos médios, temos que:

∆ x = b - a n = 1 - 0 5 = 1 5

Dessa forma pontos finais serão:

0 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 1

Então podemos calcular os pontos médios:

x - = 1 2 x i - 1 + x i

Para i = 1 .

x 1 - = 1 2 0 + 1 5 = 1 10

Para i = 2 .

x 2 - = 1 2 1 5 + 2 5 = 3 10

Para i = 3 .

x 3 - = 1 2 2 5 + 3 5 = 1 2

i = 4 .

x 4 - = 1 2 3 5 + 4 5 = 7 10

E para i = 5 .

x 5 - = 1 2 4 5 + 1 = 9 10

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Substituindo na fórmula

∫ a b f x   d x ≈ ∆ x ( f x 1 - + … + f x n -

∫ 0 1 x 3 + 1 ⁡ x   d x ≈ 1 5 f 1 10 + f 3 10 + f 1 2 + f 7 10 + f 9 10

Substituindo os pontos em f x = x 3 + 1 .

∫ 0 1 x 3 + 1 ⁡ x   d x ≈ 1 5 1 10 3 + 1 + 3 10 3 + 1 1 2 3 + 1 + 7 10 3 + 1 + 9 10 3 + 1

Calculando, chegamos em:

∫ 0 1 x 3 + 1 ⁡ x   d x ≈ 1,3871

Prontinhoo! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 1 x 3 + 1 ⁡ x   d x ≈ 1,3871

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