Exercícios de Achar a Integral pela Soma de Riemann - Lista de Exercícios Resolvida

Dada a função

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral.

Dada a função

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo .

Dada a função

Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo .

Compare os dois valores encontrados.

Seja

Calcule resolvendo a integral.

Calcule o limite:

Usando soma de Riemann, verifique que .

Explique porque podemos dizer que existem os limites quando vai ao infinito de e de .

Interprete como uma soma de Riemann e calcule seu limite quando vai ao infinito.

Utilize a notação sigma para escrever:

Repita a parte (a) usando as extremidades esquerdas

Encontre a soma dada:

Encontre a soma dada:

Calcule

usando integrais de Riemann (escolha uma partição, pontos e calcule )

Descreva o limite que calcula

E prove que

Utilize a notação sigma para escrever:

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

1. Escreva o resultado das integrais em termos das medidas das áreas
2. Escreva o resultado das integrais em termos das medidas das áreas
3. Escreva o resultado em termos das integrais

Em cada item é dado um somatório de parcelas. Determine um intervalo e uma função f tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de com subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

c)

Expresse as seguintes integrais como limite de somatório

b)

Use a soma de Riemann centrado no ponto médio para achar as aproximações da integral

b)

Seja .

a) Calcule a soma de Riemann para , no intervalo com 8 partições, tomando como pontos amostrais os extremos direitos.

b) Calcule .

Calcule as integrais impróprias abaixo:

Considere a função cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

1. Escreva o resultado em termos das integrais

8. Em cada item é dado um somatório de parcelas. Determine um intervalo e uma função tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de com subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

b)

8. Em cada item é dado um somatório de parcelas. Determine um intervalo e uma função tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de com subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

a)

Em cada item é dado um somatório de parcelas. Determine um intervalo e uma função f tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de com subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

d)

1. Defina precisamente partição de um intervalo.
2. Defina precisamente soma de Riemann.

Seja não negativa e considere a área entre o gráfico de e o eixo das abscissas. Sejam E e D duas somas de Riemann para no intervalo , sendo E com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos de e D com pontos amostrais nas extremidades nas extremidades direitas dos subintervalos de .

1. Coloque e em ordem crescente, sabendo que é crescente
2. Coloque , E e D em ordem crescente, sabendo que é decrescente.

Expresse as seguintes integrais como limite de somatório:

a)

Use a soma de Riemann com extremos a direita e para achar uma aproximação da integral

Use a soma de Riemann centrado no ponto médio para achar as aproximações da integral

Expresse as seguintes integrais como limite de somatório

c)

Encontre a soma dada:

Seja a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(e) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em quatro partes iguais e usando quatro retângulos abaixo do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função . Determine e , respectivamente, as somas de Riemann com subintervalos (de mesmo tamanho) para no intervalo [a,b], sendo com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

e

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função . Determine e , respectivamente, as somas de Riemann com subintervalos (de mesmo tamanho) para no intervalo [a,b], sendo com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

e

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função . Determine e , respectivamente, as somas de Riemann com subintervalos (de mesmo tamanho) para no intervalo [a,b], sendo com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

e

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função . Determine e , respectivamente, as somas de Riemann com subintervalos (de mesmo tamanho) para no intervalo [a,b], sendo com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

e

Explique a diferença entre

Utilize a notação sigma para escrever:

Onde

Encontre a soma dada:

Encontre a soma dada:

Construa a soma de Riemann para a função

usando três subintervalos e o extremo esquerdo de cada um destes intervalos como ponto amostral.

Encontre a soma dada:

Estime a área sob o gráfico da função de até usando seis retângulos e as extremidades direitas.

Repita a parte (a) empregando os pontos médios

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(a) Faça um gráfico representando a situação.

(b) Como A é descrita em termos de integral?

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(c) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em duas partes iguais e usando dois retângulos abaixo do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área.

1. Escreva o resultado das integrais em termos das medidas das áreas

Transforme em integrai definida e calcule:

No intervalo .

Em cada item é dado um somatório de parcelas. Determine um intervalo e uma função f tais que o somatório dado seja a soma de Riemann de com subintervalos e com pontos amostrais nas extremidades direitas desses subintervalos.

d)

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(d) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em duas partes iguais e usando dois retângulos acima do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(f) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em quatro partes iguais e usando quatro retângulos acima do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Seja uma função contínua. Considere e os valores máximo e mínimo de em , respectivamente.

1. Use as propriedades da integral para verificar que:
2. Usando o Teorema do Valor Intermediário, conclua que existe tal que
3. Usando o mesmo raciocínio mostre que, se é uma função não negativa tal que , então existe tal que:

Utilize a notação sigma para escrever:

Calcule:

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .

(g) Coloque em ordem crescente as respostas dos itens (b) a (f).

Calcule o limite quando vai ao infinito de: