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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 26

x y^' = y + x e^(y // x)

Passo 1

Esse é o típico exercício que precisamos de uma fator integrante para resolve-lo, sem precisar verificar se a equação é exata. Confesse, já vimos esse tipo de problema antes, não? Se não recorda, de uma olhada nos problemas 8, 12, 18 e 23. Entretanto precisamos tomar um pouco mais de cuidado, pois não é um problema totalmente simples e precisa de um cuidado um pouco diferente.

Passo 2

Seja u (x) = y // x , o que significa que y = u x -> y^' = u^' x + u , assim vamos substituir e encontrar

y^' - (y)/(x) = e^((y)/(x)) -> u^' x + u - u = e^u -> u^' x = e^u

E agora chegamos em uma equação separável e agora sabemos resolver

e^(- u) d u = (d x)/(x) -> - e^(- u) = ln x + C

Mas não podemos esquecer quem é nosso u , assim temos que

- e^(- ((y)/(x))) = ln x + C

Resposta

e^(- ((y)/(x))) + ln x = C

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