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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 24 a 26

a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a 0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a 0 .

b) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico de a 0

c) Deescreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0

t y ' + 2 y = s e n t t ,       y - π 2 = a ,     t < 0

Passo 1

a)

Passo 2

b)Vamos resolver pelo método...

y ' + 2 t y = s e n t t 2    

Multiplicamos por μ t  

μ t y ' + μ t 2 t y = μ t s e n t t 2

De modo que

d μ t d t = μ t 2 t   ⟹     d μ t μ t = 2 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 2 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 2 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 2   ⟹   μ t = t 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t y ' + μ t 2 t y = μ t s e n t t 2

⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t s e n t t 2   ⟹   d   μ t   y = μ t s e n t t 2 d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 2 y =   ∫ t 2 s e n t t 2 d t =   - c o s t + C

y t   = - c o s t + C t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y - π 2   = 4 C π 2 = a ⟹ C = a π 2 4

y t   = - c o s t + a π 2 4 t 2

a 0 = π 2 4 - 1

Passo 3

c) y → 1 2   q u a n d o   t →   0     p a r a   a = a 0

Resposta

y t   = - c o s t + a π 2 4 t 2

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