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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

15. y 6 + y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 6 + y = 0   →

r 6 + 1 = 0

Precisamos encontrar as raízes desse amiguinho aí.

SIM! As raízes dele estão no mundo dos complexos!

Para determina-las, vamos escrever:

r 6 = - 1   →

r = - 1 1 / 6

Passo 2

Primeiro, devemos transformar - 1 em um número complexo:

- 1 = 1 cos ⁡ π + i sin ⁡ π   →

Afinal cos ⁡ 2 π = - 1 e sin ⁡ 2 π = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 π é também - 1 e 0 para o cosseno e seno...

- 1 = 1 cos ⁡ π + 2 π m + i sin ⁡ π + 2 π m   →

Pela notação de Euler então...

- 1 = 1 e π + 2 π m i  

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de - 1 1 / 6 , então...

- 1 1 6 = e π + 2 π m i 1 6   →

- 1 1 6 = e π 6 + π 3 m i

Transformando para cosseno e seno então...

- 1 1 6 = cos ⁡ π 6 + π 3 m + i sin ⁡ π 6 + π 3 m    

Fazendo então m = 0 , m = 1 , m = 2 , m = 3 , m = 4 e m = 5 ...

  • Para o m = 0 :

    • cos ⁡ π 6 + i sin ⁡ π 6   =

    3 2 + 1 2 i

  • Para m = 1 ...

    • cos ⁡ π 6 + π 3 + i sin ⁡ π 6 + π 3   =

    cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2   =

    Calculando esses senos e cossenos...

    0 + i

  • Para m = 2 ...

    • cos ⁡ π 6 + 2 π 3 + i sin ⁡ π 6 + 2 π 3   =

    cos ⁡ 5 π 6 + i sin ⁡ 5 π 6   =

    - 3 2 + 1 2 i  

  • Para m = 3 ...

    • cos ⁡ π 6 + 3 π 3 + i sin ⁡ π 6 + 3 π 3   =

    cos ⁡ 7 π 6 + i sin ⁡ 7 π 6   =

    - 3 2 - 1 2 i  

  • Para m = 4 ...

    • cos ⁡ π 6 + 4 π 3 + i sin ⁡ π 6 + 4 π 3   =

    cos ⁡ 9 π 6 + i sin ⁡ 9 π 6   =

    - i  

  • Para m = 5 ...

cos ⁡ π 6 + 5 π 3 + i sin ⁡ π 6 + 5 π 3   =

cos ⁡ 11 π 6 + i sin ⁡ 11 π 6   =

3 2 - 1 2 i  

Então essas são as raízes complexas tal que r 4 - 1 = 0 são...

r 1 = 3 2 ± 1 2 i ;             r 2 = ± i ;               r 3 = - 3 2 - 1 2 i

Então nós temos três diferentes r ’s complexos conjugados.

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r 1 = 3 2 ± 1 2 i como ele é imaginário...

    • y 1 = e 3 2 t c 1 sin ⁡ 1 2 t + c 2 cos ⁡ 1 2 t

  • Para r 2 = 0 ± i como ele é imaginário...

    • y 2 = e 0 c 3 sin ⁡ t + c 4 cos ⁡ t

  • Para r 1 = - 3 2 ± 1 2 i como ele é imaginário...

y 1 = e - 3 2 t c 5 sin ⁡ 1 2 t + c 6 cos ⁡ 1 2 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = y 1 + y 2 + y 3   →

y = e 3 2 t c 1 sin ⁡ 1 2 t + c 2 cos ⁡ 1 2 t + c 3 sin ⁡ t + c 4 cos ⁡ t + e - 3 2 t c 5 sin ⁡ 1 2 t + c 6 cos ⁡ 1 2 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = e 3 2 t c 1 sin ⁡ 1 2 t + c 2 cos ⁡ 1 2 t + c 3 sin ⁡ t + c 4 cos ⁡ t + e - 3 2 t c 5 sin ⁡ 1 2 t + c 6 cos ⁡ 1 2 t

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