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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 28

Supondo que a trajetória correspondente a uma solução   x   =   ϕ ( t ) ,   y   =   ψ ( t ) ,   - ∞   <   t   <   ∞ , de um sistema autônomo é fechada, mostre que a solução é periódica.

Sugestão: Como a trajetória é fechada, existe pelo menos um ponto ( x 0 ,   y 0 ) tal que ϕ ( t 0 )   =   x 0 , ψ ( t 0 )   =   y 0 e um número T   >   0 tal que ϕ ( t 0   +   T )   =   x 0 , ψ ( t 0   +   T )   =   y 0 . Mostre que x   =   Φ ( t )   =   ϕ ( t   + T ) ,   y   =   Ψ ( t )   =   ψ ( t   +   T ) é uma solução e use o teorema de existência e unicidade para mostrar   que Φ ( t )   =   ϕ ( t ) ,   Ψ ( t )   =   ψ ( t ) para todo   t .

Passo 1

Desde que a trajetória esteja fechada, existe pelo menos um ponto x 0 , y 0 que é:

ϕ t 0 = x 0 ,         ψ t 0 = y 0

E um número T > 0 , que:

ϕ t 0 + T = x 0 ,           ψ t 0 + T = y 0

Define que Φ t = ϕ t + T , Ψ t = ψ t + T , logo:

d Φ d t t = d ϕ d t t + T = F ϕ t + T , ϕ t + T = F Φ t , Ψ t

d Ψ d t t = d ψ d t t + T = G ϕ t + T , ϕ t + T = G Φ t , Ψ t

Tendo x = ϕ t ,   y = Ψ t é uma solução do sistema, também temos:

ϕ t 0 = ϕ t + T = x 0 = ϕ t 0 ,                 Ψ t 0 = ψ t 0 + T = y 0 = ψ t 0

Tendo que pelo teorema único(7.1.1) esta solução e o sistema dado deve ser i.e:

ϕ t = Φ t = ϕ t + T ,             ψ t = Ψ t = ψ t + T

Consequentemente, o sistema dado é periódico.

Resposta

o sistema dado é periódico

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