Supondo que a trajetória correspondente a uma solução x = ϕ(t), y = ψ(t) , - ∞ < t < ∞ , de um sistema autônomo é fechada, mostre que a solução é periódica.

Sugestão: Como a trajetória é fechada, existe pelo menos um ponto (x0, y0) tal que ϕ(t0) = x0, ψ(t0) = y0 e um número T > 0 tal que ϕ(t0 + T) = x0 , ψ(t0 + T) = y0 . Mostre que x = Φ(t) = φ(t + T), y = Ψ(t) = ψ(t + T) é uma solução e use o teorema de existência e unicidade para mostrar A fórmula reescrita por você: que Φ(t) = ϕ(t), Ψ(t) = ψ(t) para todo t .

Passo 1

Desde que a trajetória esteja fechada, existe pelo menos um ponto x 0 , y 0 que é:

ϕ t 0 = x 0 ,         ψ t 0 = y 0

E um número T > 0 , que:

ϕ t 0 + T = x 0 ,           ψ t 0 + T = y 0

Define que Φ t = ϕ t + T , Ψ t = ψ t + T , logo:

d Φ d t t = d ϕ d t t + T = F ϕ t + T , ϕ t + T = F Φ t , Ψ t

d Ψ d t t = d ψ d t t + T = G ϕ t + T , ϕ t + T = G Φ t , Ψ t

Tendo x = ϕ t ,   y = Ψ t é uma solução do sistema, também temos:

ϕ t 0 = ϕ t + T = x 0 = ϕ t 0 ,                 Ψ t 0 = ψ t 0 + T = y 0 = ψ t 0

Tendo que pelo teorema único(7.1.1) esta solução e o sistema dado deve ser i.e:

ϕ t = Φ t = ϕ t + T ,             ψ t = Ψ t = ψ t + T

Consequentemente, o sistema dado é periódico.

Resposta

o sistema dado é periódico

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