Supondo que a trajetória correspondente a uma soluçãox=ϕ ( t ) ,y=ψ ( t ) ,- ∞t∞ , de um sistema autônomo é fechada, mostre que a solução é periódica.Sugestão: Como a trajetória é fechada, existe pelo menos um ponto ( x 0 ,y 0 ) tal que ϕ ( t 0 )=x 0 , ψ ( t 0 )=y 0 e um número T0 tal que ϕ ( t 0+T )=x 0 , ψ ( t 0+T )=y 0 . Mostre que x=Φ ( t )=ϕ ( t+ T ) ,y=Ψ ( t )=ψ ( t+T ) é uma solução e use o teorema de existência e unicidade para mostrar que Φ ( t )=ϕ ( t ) ,Ψ ( t )=ψ ( t ) para todot .

Enunciado

Desde que a trajetória esteja fechada, existe pelo menos um ponto que é:

E um número , que:

Define que , logo:

Tendo é uma solução do sistema, também temos:

Tendo que pelo teorema único(7.1.1) esta solução e o sistema dado deve ser i.e:

Consequentemente, o sistema dado é periódico.

o sistema dado é periódico