Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 17
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.
Passo 1
Para encontrar os valores próprios e as funções próprias do problema de valor limite fornecido
Suponha que todos os autovalores sejam reais.
Deixe a equação de características padrão para .
Agora resolvendo a equação para , então . Portanto, a solução geral para essa condição será:
Diferenciando, temos:
Agora, aplicando a primeira condição de contorno, teremos . Então:
A próxima condição será quando , então:
Em termos de :
Passo 2
Agora resolvendo mais para .
A solução geral para essa condição será:
Diferenciando temos:
Agora, quando , então . Da mesma forma que se . Se a solução geral é não temos autovalores possíveis para essa condição.
Passo 3
Quando , teremos também . A solução geral será dada por:
Diferenciando, temos:
Quando , então :
Então , teremos:
Então aqui teremos .
A solução geral será .
Portanto, o autovalor final para a função fornecida é:
O autovalor será dado por: