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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = x + L ,     - L ≤ x ≤ 0 , L ,                                         0 < x < L ;                             f x + 2 L = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Esta função é periódica com o período 2L.

Portanto, neste caso, L   da fórmula (1) na página 587 e L do problema são os mesmos, e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Onde os coeficientes são calculados a partir da fórmula (13) e (14) na página 600.

Passo 3

Para m = 0 , nós teremos:

a 0 = 1 L ∫ - L 0 x + L d x + ∫ 0 - L L d x = 1 L L 2 2 + L 2 = 3 L 2

Para m > 0 , nós temos:

a m = 1 L ∫ - L 0 x + L cos ⁡ m π x L d x + ∫ 0 L L cos ⁡ m π x L d x

= 1 L L 2 π 2 m 2 sin ⁡ m π x L m π + m π x L + cos ⁡ m π x L - L 0 + L m π sen ⁡ m π x L 0 L

= L π 2 m 2 1 - cos ⁡ m π + 0

= 2 L π 2 m 2   ,   m   í m p a r   0   ,   m   p a r

Para calcularmos b m .

Similarmente, teremos:

b m = 1 L ∫ - L 0 ( x + L ) sin ⁡ m π x L d x + ∫ 0 L L sin ⁡ m π x L d x

Então:

= 1 L L 2 π 2 m 2 - cos ⁡ m π x L m π + m π x L + sen ⁡ m π x L - L 0 - L m π cos ⁡ m π x L 0 L

= L m 2 π 2 - m π - 0 + L m π ( 1 - cos ⁡ m π )

= - L cos ⁡ m π m π = L - 1 m + 1 m π

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = 3 L 4 + ∑ m   é   í m p a r 2 L cos ⁡ π m x L π 2 m 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 L sen ⁡ π m x L n π

Se m = 2 n - 1 :

f x = 3 L 4 + ∑ n = 1 ∞ 2 L cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x L π 2 2 n - 1 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 L sen ⁡ π m x L n π

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 n - 1 2

Resposta

f x = 1 2 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 n - 1 2

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