Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 21
Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de .
Passo 1
O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por , onde e são números reais. Supondo como solução , é possível descrever a nossa solução geral.
Passo 2
Usando a ideia do passo 1, temos que
Na qual temos que e .
Assim temos nossa equação característica dada por
Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em
Tendo como solução
Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar
Perceba que e são diferentes de e
Passo 3
Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que
E
onde
E
Na qual
Assim temos que nossa solução geral é dada por
O que temos é uma função que oscila em torno de . Se aumentarmos o valores de , teremos que decai. Logo temos um oscilador amortecido.
Passo 4
O gráfico da solução geral fica assim:
Os máximos são cada vez mais maiores quando vamos para esquerda e os mínimos cada vez menores. Conforme aumento, nos aproximamos de zero.