Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.1 - Ex. 22
Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo.
Passo 1
Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos precisar saber o quanto vale a área superficial de uma esfera. Temos que ela é dada pela integral de uma rotação de uma circunferência e é dada por
Vamos juntos para resolver!!
Passo 2
Bom, o enunciado nos diz algumas informações sobre o problema. Ele nos diz que a taxa de evaporação é dada por uma proporcionalidade com a área superficial. Um jeito de escrevermos isso matematicamente é
ou
Porém, precisamos deixar tudo em termos de . Temos que o volume de uma esfera é dado por . Logo
Juntando todos os valores constantes para uma nova constante , temos que nossa equação diferencial fica:
Onde o sinal negativo simboliza a perca do volume com o tempo.