Determinado remédio está sendo injetado na veia de um paciente hospitalizado. O líquido, contendo do remédio, entra na corrente sanguínea do paciente a uma taxa de . O remédio é absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sanguínea de outro modo, a uma taxa proporcional à quantidade presente, com um coeficiente de proporcionalidade igual a .

1. Supondo que o remédio está sempre distribuído uniformemente na corrente sanguínea, escreva uma equação diferencial para a quantidade de remédio presente na corrente sanguínea em qualquer instante de tempo.
2. Quanto remédio continua presente na corrente sanguínea após muito tempo?

Letra (a):

Bom, o enunciado nos diz que a taxa com que o remédio é aplicado é constante. Ele nos fala que a quantidade de remédio que temos e a taxa que entra na corrente é, respectivamente, e . Se multiplicarmos os valores, teremos a taxa de remédio por hora que é inserido na corrente sanguínea. Porém, o problema também nos fala de uma quantidade que é absorvida ou eliminada pelo organismo. Essa taxa é dada por uma constante de proporcionalidade vezes a quantidade de remédio no organismo. Em outras palavras, temos que nossa equação diferencial que descreve a taxa de remédio é dada por

Letra (b):

Pelo campo de direções, podemos ver que o valor para onde tende nossa equação diferencial é o valor de . Ou seja, depois de um tempo alto, resta na corrente sanguínea o valor de do remédio.