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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

26.

x ( 3   –   x ) y ″   +   ( x   +   1 ) y '   -   2 y   =   0

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x ( 3   –   x ) y ″   +   ( x   +   1 ) y '   -   2 y   =   0

Nossa função P é

P x = x ( 3   –   x )

Com isso nossos pontos singulares são

x =   0

E

x =   3

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desses pontos agora, começando por   x = 0

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x x   +   1 x ( 3   –   x )

= 1 3  

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 0 ⁡ x 2 -   2 x ( 3   –   x )  

= 0

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = 0 é regular. Agora vamos restar x = 3

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 3 ⁡ x - 3 x   +   1 x ( 3   –   x )

lim x → 3 ⁡ ( - 1 ) x   +   1 x

=   - 4 3

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 3 ⁡ x - 3 2 -   2 x ( 3   –   x )  

= 0

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = 3 é regular. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nossos pontos singulares são

x =   0 → Regular

E

x =   3 → Regular

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