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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 30

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

30.

x 2 y ″   +   2 ( e x   -   1 ) y '   +   ( e - x   c o s   x ) y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 2 y ″   +   2 ( e x   -   1 ) y '   +   ( e - x   c o s   x ) y   =   0  

Nossa função P é

P x = x 2

Com isso nosso ponto singular é

x =   0

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desse ponto agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x 2 ( e x   -   1 ) x 2

lim x → 0 ⁡ 2 ( e x   -   1 ) x

Chegamos a uma indeterminação. Vamos usar L’Hopital para resolver qual parte da fração vence a corrida pelo limite.

lim x → 0 ⁡ 2 ( e x   -   1 ) x     → L ' H lim x → 0 ⁡ 2 e x 1    

= 2

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 0 ⁡ x 2 e - x   c o s   x x 2    

= 1

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = 0 é regular

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nosso ponto singular é

x =   0 → Regular

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